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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 汎函数行列式 ： ウィキペディア日本語版 汎函数行列式[ひろしかんすうぎょうれつしき] 函数空間 V からそれ自身への線型写像を ''S'' とすると、行列式の無限次元への一般化が可能なことがしばしばある。この量 det(''S'') を ''S'' の 汎函数行列式 ()と言う。 汎函数行列式の公式がいくつかあり、それらは皆、対角化可能な有限次元の行列に対しては行列式が固有値の積に等しいという事実を基礎としている。数学的には、作用素のゼータ函数を通して厳密に定義される。 :$\backslash zeta\_S(a)\; =\; \backslash operatorname\backslash ,\; S^\; \backslash ,,$ ここに tr は汎函数のトレースを意味し、従って汎函数行列式は、 :$\backslash det\; S\; =\; e^\; \backslash ,,$ で定義される。ここに ''s'' = 0 でのゼータ函数は解析接続により定義される。別な一般化された方法も可能であり、物理学者が量子場理論でファインマンの経路積分の定式化に用いる、の方法がある。 :$\backslash det\; S\; \backslash propto\; \backslash left(\; \backslash int\_V\; \backslash mathcal\; D\; \backslash phi\; \backslash ;\; e^\; \backslash right)^\; \backslash ,.$ この経路積分は、ある発散する乗数因子の差を除いたときのみ、うまく定義できる。この厳密な意味を与えるために、他の汎函数行列式で割る必要があり、見せかけの定数の打ち消しがなされる。 現在は、これらが表現上は2つの異なる汎函数行列式で、一方は量子場理論に由来を持つもので、他方はスペクトル理論に由来を持つものである。どちらも正規化の一種で、物理で普通に行われる定義は、2つの行列式を単に比較することができるということを意味しているが、数学ではゼータ函数が使われる。 は、量子場理論で定式化された2つの汎函数行列式が、ゼータ函数正規化によって得られた結果に一致するということを示した。'')と言う。 汎函数行列式の公式がいくつかあり、それらは皆、対角化可能な有限次元の行列に対しては行列式が固有値の積に等しいという事実を基礎としている。数学的には、作用素のゼータ函数を通して厳密に定義される。 :$\backslash zeta\_S(a)\; =\; \backslash operatorname\backslash ,\; S^\; \backslash ,,$ ここに tr は汎函数のトレースを意味し、従って汎函数行列式は、 :$\backslash det\; S\; =\; e^\; \backslash ,,$ で定義される。ここに ''s'' = 0 でのゼータ函数は解析接続により定義される。別な一般化された方法も可能であり、物理学者が量子場理論でファインマンの経路積分の定式化に用いる、の方法がある。 :$\backslash det\; S\; \backslash propto\; \backslash left(\; \backslash int\_V\; \backslash mathcal\; D\; \backslash phi\; \backslash ;\; e^\; \backslash right)^\; \backslash ,.$ この経路積分は、ある発散する乗数因子の差を除いたときのみ、うまく定義できる。この厳密な意味を与えるために、他の汎函数行列式で割る必要があり、見せかけの定数の打ち消しがなされる。 現在は、これらが表現上は2つの異なる汎函数行列式で、一方は量子場理論に由来を持つもので、他方はスペクトル理論に由来を持つものである。どちらも正規化の一種で、物理で普通に行われる定義は、2つの行列式を単に比較することができるということを意味しているが、数学ではゼータ函数が使われる。 は、量子場理論で定式化された2つの汎函数行列式が、ゼータ函数正規化によって得られた結果に一致するということを示した。 ==定義公式== ===経路積分版=== 有限次元ユークリッド空間 ''V'' 上の正定値の自己共役作用素 ''S'' では、次が成立する。 :$\backslash frac\; =\; \backslash int\_V\; e^\backslash ,\; dx$ 問題は無限次元の空間上の作用素 ''S'' の汎函数行列式にどのようにして意味を与えるかという問題である。量子場理論で普通使う一つのアプローチは、閉区間上の連続した経路から函数空間がなるとして、形式的に次の積分を計算しようとする。 :$\backslash int\_V\; e^\backslash ,\; \backslash mathcal\; D\backslash phi$ ここに ''V'' は函数空間で $\backslash langle\; -,-\backslash rangle$ は L2 内積、 $\backslash mathcal\; D\backslash phi$ はである。''S'' の基本前提として作用素が自己共役であり、L2空間上で完全系をなす固有函数 ''f''1, ''f''2, ''f''3… に対応して、離散的なスペクトル λ1, λ2, λ3… を持つとする。（例えば、コンパクトな区間 Ω 上の二階微分作用素の場合と同様にである）このことは大まかには、すべての函数 φ が函数 ''f''''i'' の線型結合として書くことができる。 :$|\backslash phi\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_i\; c\_i\; |f\_i\backslash rangle\; \backslash quad\; \backslash text\; c\_i\; =\; \backslash langle\; f\_i\; |\; \backslash phi\; \backslash rangle.\backslash ,$ よって、指数関数の中の内積は次のように書くことができる。 :$\backslash langle\backslash phi|S|\backslash phi\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\; c\_i^$ *c_j \langle f_i|S|f_j\rangle = \sum_c_i^ *c_j \delta_\lambda_i = \sum_i |c_i|^2 \lambda_i. 函数 ''f''''i'' を基底にとれば、汎函数の積分はすべての基底関数を渡る積分に還元される。形式的には有限次元の場合から無限次元の場合への直観を働かせれば、測度は次の式となる。 :$\backslash mathcal\; D\; \backslash phi\; =\; \backslash prod\_i\; \backslash frac.$ このことから汎函数積分はガウス積分の積になる。 :$\backslash int\_V\; \backslash mathcal\; D\; \backslash phi\; \backslash ;\; e^\; =\; \backslash prod\_i\; \backslash int\_^\; \backslash frac\; e^.$ 従って、積分は計算ができて、次の式となる。 :$\backslash int\_V\; \backslash mathcal\; D\; \backslash phi\; \backslash ;\; e^\; =\; \backslash prod\_i\; \backslash frac1\; =\; \backslash frac\; N$ ここに ''N'' はある正規化プロセスによって扱われるべき無限となる定数である。すべての固有値の積は有限次元の行列式に等しく、形式的にこれを無限次元の場合の定義にも用いる。 ::$\backslash int\_V\; \backslash mathcal\; D\; \backslash phi\; \backslash ;\; e^\; \backslash propto\; \backslash frac1.$ もしすべての量が何らかの適当な意味で収束すると、汎函数行列式は古典的極限として書くことができる(Whittaker,Watson)。そうでなければ、他の種類の発散級数の扱いを行う必要がある。最も一般的に行われる汎函数行列式の計算は、ゼータ函数正規化である。〔; 〕 例えば、ゼータ函数正規化は、ミナクシサンドラム・プレイジェルゼータ函数を使い、リーマン多様体の上のラプラス作用素やの汎函数行列式の計算が可能である。それができなければ、発散する定数をキャンセルするために、2つの行列式の商を取ることを考える必要がある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「汎函数行列式」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.