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特異測度 : ウィキペディア日本語版
特異測度[とくい]
数学の分野において、ある可測空間 (Ω, Σ) 上で定義される二つの正(あるいは符号付または複素)測度 ''μ'' および ''ν'' が特異(とくい、)であるとは、Σ 内の二つの互いに素な集合 ''A'' と ''B'' で、その合併が Ω であり、''B'' のすべての可測部分集合上で ''μ'' がゼロとなり、''A'' のすべての可測部分集合上で ''ν'' がゼロとなるようなものが存在することを言う。この関係は \mu \perp \nu と表される。
ルベーグの分解定理の改良されたものにおいては、特異測度をある特異連続測度と離散測度に区分している。例としては下記を参照されたい。
== R''n'' 上の例 ==
特別な例として、ユークリッド空間 R''n'' 上のある測度が特異的であるとは、それがその空間上のルベーグ測度に関して特異的であることを言う。例えば、ディラックのデルタ関数は特異測度である。
離散測度
実数直線上のヘヴィサイドの階段関数
: H(x) \ \stackrel \begin 0, & x < 0; \\ 1, & x \geq 0; \end
は、その分布的導関数(distributional derivative)としてディラックのデルタ関数 \delta_0 を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量(point mass)を持つ。しかし、ディラック測度 \delta_0 はルベーグ測度 \lambda に関して絶対連続ではなく、\lambda\delta_0 に関して絶対連続では無い。すなわち、\lambda ( \ ) = 0 であるが \delta_0 ( \ ) = 1 であり、また U を任意の開集合で 0 を含まないものとするなら、\lambda (U) > 0 であるが \delta_0 (U) = 0 である。
特異連続測度
カントール分布は連続であるが絶対連続では無い累積分布関数であり、実際その絶対連続な部分はゼロである。すなわち、この分布は特異連続である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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