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数学における球函数に対するプランシュレルの定理（プランシュレンのていり、）は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はハリッシュ＝チャンドラによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびフーリエ変転公式の、非可換調和解析における自然な一般化であり、微分方程式論とも同様に近しい相互関係を持つ。 「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理（これもハリッシュ＝チャンドラが示した）の、帯球函数に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた対称空間 ''X'' 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L2(''X'') 上の正則表現の、既約表現への直積分分解をも与えるものである。双曲空間の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、フォックによる既知の結果として知られていた。 主要な参考文献として、網羅的な教科書 にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。 == 歴史 == 単模な局所コンパクト群 ''G'' に対する抽象的なプランシュレルの公式の最初の版は、ジーゲルとモートナーによる〔, historical notes on the Plancherel theorem for spherical functions〕。同じころ、ハリッシュ＝チャンドラ、ゲルファントとナイマークは、実二次特殊線型群 ''SL''(2 R) および複素半単純リー群、特にローレンツ群に対する明示公式を導いた。またモートナーは、極大コンパクト部分群 ''K'' に対応する「位相的」対称空間 ''G''/''K'' に対する、より単純な抽象公式を導いている。ゴドマンはより具体的で申し分のない形で、''G''/''K'' 上の球函数のクラスである正定値帯球函数に対する公式を与えている。''G'' が半単純リー群のとき、それら球函数 φλ は、ユークリッド空間の有限鏡映群の作用による商に値をとる径数 λ で添字付けられるから、問題はこの径数付けのもとでプランシュレル測度を明示的に決定することが中心課題となる。常微分方程式のスペクトル論からワイルの考え方を一般化して、ハリッシュ＝チャンドラは、 彼に名高い ''c''-函数 ''c''(λ) を球函数 φλ の漸近挙動を記述するために導入して、''c''(λ)−2''d''λ をプランシュレル測度として提唱した。彼が示したのは、公式の ''G'' が複素または実階数 1 である特別の場合であり、これは特に ''G''/''K'' が双曲空間である場合をカバーしている。一般の場合については、''c''-函数およびいわゆる球フーリエ変換の性質に関する二つの予想に還元される。''c''-函数に対する明示公式は、後にバーニュ＝マーシーが古典的半単純リー群の広範なクラスに対するものを得ている。それからこれらの公式に促されて Gindikin と Karpelevič は、''c''-函数に対する蹟公式を導出した。これは階数 1 の場合にはハリッシュ＝チャンドラの公式の計算に帰着される。これらの仕事は、最終的にハリッシュ＝チャンドラによってまとめられ、1966年に球函数に対するプランシュレルの定理の証明が完成した〔, section 21〕。 多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特に は、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。 球変換に対する主要な応用および動機の一つはセルバーグ蹟公式であった。古典的なポアソン和公式は、ベクトル群上のフーリエ反転公式を余コンパクト格子上の総和に結び付けるが、この和公式の類似物としてのセルバーグ蹟公式は、ベクトル群を ''G''/''K'' で、フーリエ変換を球変換で、格子を余コンパクト（あるいは補有限）離散部分群で、それぞれ取り替えたものである。セルバーグのオリジナルの論文 は球変換を暗黙の裡に用いており、球変換を前面に持ち出すのは で、これには特にセルバーグのスケッチに沿ってSL(2,R) に対する初等的な取り扱いが示されている。 多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特に は、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。 球変換に対する主要な応用および動機の一つはセルバーグ蹟公式であった。古典的なポアソン和公式は、ベクトル群上のフーリエ反転公式を余コンパクト格子上の総和に結び付けるが、この和公式の類似物としてのセルバーグ蹟公式は、ベクトル群を ''G''/''K'' で、フーリエ変換を球変換で、格子を余コンパクト（あるいは補有限）離散部分群で、それぞれ取り替えたものである。セルバーグのオリジナルの論文 は球変換を暗黙の裡に用いており、球変換を前面に持ち出すのは で、これには特にセルバーグのスケッチに沿ってSL(2,R) に対する初等的な取り扱いが示されている。 R) に対する初等的な取り扱いが示されている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「球函数に対するプランシュレルの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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