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積率母函数 : ウィキペディア日本語版
積率母関数[せきりつははかんすう]
確率論統計学において、確率変数 ''X'' の積率母関数またはモーメント母関数: moment-generating function)は、期待値が存在するならば次の式で定義される。
: M_X(t) := E\left(e^\right), \quad t \in \mathbb
積率母関数がそのように呼ばれるのは、''t'' = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布モーメント母関数であるからである。
:E \left( X^n \right) = M_X^(0) = \frac(0)
積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。
積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率(モーメント)と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。
より一般化すると、''n''-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) \mathbf X = ( X_1, \ldots, X_n) の場合、tX の代わりに \mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X を使い、次のように定義する。
: M_(\mathbf t) := E\left(e^\right)
== 計算 ==
積率母関数はリーマン=スティルチェス積分で次のように与えられる。
::M_X(t) = \int_^\infty e^\,dF(x)
ここで ''F'' は累積分布関数である。
''X'' が連続な確率密度関数 ''f''(''X'') を持つ場合、M_X(-t) は ''f''(''x'') の両側ラプラス変換である。
:M_X(t) = \int_^\infty e^ f(x)\,\mathrmx
::: = \int_^\infty \left( 1+ tx + \frac + \cdots\right) f(x)\,\mathrmx
::: = 1 + tm_1 + \frac +\cdots,
ここで、m_i は ''i''番目のモーメントである。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「積率母関数」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Moment-generating function 」があります。



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