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数学の一分野である位相空間論において、位相空間の端点（たんてん、; 端）全体の成す集合は、大雑把に言えばその空間の「想像上の境界」(“ideal boundary”) の連結成分である。つまり、各端点はその空間の中で無限遠へ行くための位相的に相異なる方法を示すものになる。各端にそれぞれひとつの端点を加えるという操作は、もとの空間の端コンパクト化 (''end compactification'') と呼ばれるコンパクト化を導く。 == 定義 == 位相空間 において、そのコンパクト部分集合からなる昇列 : でこれらの内部が を被覆するものとする。このとき、 は任意の列 : に対してひとつずつ端点を持つ。ただし、各 は の連結成分である。空間の端点の数は、定義に用いたコンパクト集合の列 の取り方に依らず定まる。実は、端点集合に対してこのような列の任意の二つを対応付けるような自然な全単射が存在するのである。 この定義を用いるとき、端点 の近傍とは、適当な に対して となるような開集合 のことを言う。このような近傍は、端コンパクト化した空間（この「コンパクト化」は必ずしもコンパクトではない。コンパクトとなるには位相空間 が連結かつ局所連結でなければならない）においてこれに対応する無限遠点の近傍を表現するものである。 さて上記の端点の定義が通用するのは空間 が場合に限られる（つまり、 はでなければならない）。しかしこれは以下のように一般化することができる。 は任意の位相空間として、 のすべてのコンパクト部分集合とそれらの間の包含写像からなる帰納系 を考えれば、これに対応する射影系 を が空間 の連結成分全体の成す集合とし、各包含写像 の誘導する 写像 を考えることで与えられる。このとき の端点集合はこの射影系の射影極限として定義される。この定義のもとで、端点集合を取る操作はからへの函手となる。上で述べたもともとの定義は、この定義においてコンパクト部分集合全体の成す帰納系がを持つような特別の場合に当たる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「端点」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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