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数学において発散級数（はっさんきゅうすう、）とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。 級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし、級数の収束性はそれよりも強い条件で、級数の項が 0 に収束するからといって必ずしもその級数自身は収束しない。最も簡単な反例として、調和級数 : が挙げられる。調和級数の発散性は、中世の数学者ニコル・オレームによって示された。 数学の特別な文脈では、部分和の列が発散するようなある種の列について、その和として意味のある値を割り当てることができる。総和法 とは、級数の部分和の列全体の成す集合から「和の値」の集合への部分写像である。例えば、チェザロ総和法ではグランディの発散級数 : に 1/2 を値として割り当てる。チェザロ総和法は平均化法 の一種で、部分和の列の算術平均をとることに基づいている。他の方法としては、関連する級数の解析接続として和を定める方法などがある。物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる（詳細はの項を参照）。 == 発散級数の総和法に関する定理 == 総和法 ''M'' が正則であるとは、収束級数については通常の和と一致することである。総和法 ''M'' が正則であることを示す定理は（アーベルの定理が原型的な例であることから）''M'' に対するアーベル型定理という（また、正則であるという代わりに「''M'' についてのアーベル型定理が成り立つ」というように述べることもできる）。これの「部分的に逆」の結果を与えるタウバー型定理は、より重要で一般にはより捉えにくい（呼称は、原型的な例をアルフレッド・タウバーが与えたことによる）。ここで「部分的に逆」というのは ''M'' が級数 Σ を総和し、かつ「ある特定の付加条件を満たす」ならば、Σ はそもそも収束級数であるということを言っている。「なんらの付加条件をなにも課さない形でタウバー型定理が成立する」ならば ''M'' は収束級数だけしか総和できないという意味になる（これでは発散級数の総和法としては役に立たない）。 収束級数にその和を対応させる作用素は線型であり、ハーン-バナッハの定理によれば、これを部分和が有界となる任意の級数を総和する総和法に拡張することができる。しかしこの事実は実用上はあまり有用ではない。そういった拡張の大部分は互いに無矛盾とはならず、またそのような拡張された作用素の存在をしめすのに選択公理あるいはそれと同値なツォルンの補題などの適用を必要とするため、構成的に拡張を得られないためである。 解析学の領域での発散級数に関する主題としては、もともとはアーベル総和法やチェザロ総和法、ボレル総和法といった明示的で自然な手法およびそれらの関係性に関心がもたれていた。の出現が時代の契機となって、フーリエ解析におけるバナッハ環の手法との予期せぬ関連がこの主題に導入されることとなる。 発散級数の総和法は数値解法としての外挿法や級数変形法にも関係する。そのような手法として、、および量子力学の高次摂動論に対する繰り込み手法に関係した次数依存写像 などが挙げられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「発散級数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Divergent series 」があります。 スポンサード リンク
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