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素数階乗（そすうかいじょう）は ''n''# という記号で表される演算もしくは自然数 ''n'' の関数であり、2 以上 ''n'' 以下の素数の総乗をとったものである（ただし ''n'' ≧ 2）。例えば 10 以下の素数は 7, 5, 3, 2 であるので、10# = 7 × 5 × 3 × 2 = 210 である。とくに、小さい方から ''n'' 番目の素数を ''pn'' と書けば、''pn''# は 2 から ''pn'' までの素数の積である。例：3 番目の素数は 5 であるので、''p''3# = 5# = 5 × 3 × 2 = 30． == 数学的性質 == *5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1, 3, 7, 9 のいずれかに限られる。 :5# = 30 以上の数に、7 以上の素数（一の位に 5 を含まない奇数）を掛けても、十の位が 5 や偶数になることはない。 *素数が無数に存在することの証明の証明に使うことができる。 :簡単な解説：最大の素数の存在を仮定し、それを ''p''max とおくと ''p''max# + 1 は ''p''max 以下の約数をもたない。したがって ''p''max# + 1 は素数であることになるが、これは ''p''max を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。 :このように背理法を用いて最大の素数の存在を否定する方法は紀元前から知られていた。 ::実際には、素数 ''p'' に対し ''p''# + 1 は ''p'' よりも大きい素数のみの積で表されることになる。一例として、''p'' として 13 を取った場合を示す〔「13# + 1」は「素数階乗 + 1」が素数にならない最初の数であり、この構成法が素数を探す簡単な方法としては使えないことを示す例（反例）である。一般に大きな数の素数判定や素因数分解は簡単ではない。〕。 ::''p'' = 13 ::''p''# + 1 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 ::上記のように 13# + 1 (= ''p''# + 1) は 59 と 509 で素因数分解されるが、59 も 509 も 13 (= ''p'') 以下の数ではなく、13 (= ''p'') よりも大きな素数が得られる。 *全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。例：720 = 22 × 61 × 301 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「素数階乗」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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