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終結式 : ウィキペディア日本語版
終結式[しゅうけつしき]
数学において、2つの多項式終結式(しゅうけつしき、)はそれらの係数を不定元とする整係数多項式であり、これが 0 になることと多項式が(係数体の適当な拡大体において)共通を持つことが同値である、あるいは同じことだが、(多項式の係数体上)共通因子を持つことと同値である。古い文献では eliminant消去式)と呼ばれることもある。
終結式は数論において、直接あるいは判別式を通して、広く用いられる。判別式は本質的に多項式とその微分の終結式である。有理係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それは の基本的なツールであり、たいていの数式処理システムの組み込み関数である。それはとりわけ、 (CAD), 有理関数の逆微分、二変数多項式方程式によって定義された曲線の描画、に対して使われる。
== 定義 ==
''R'' を単位的可換環とし、''f'' と ''g'' を多項式環 ''R'' の次数がそれぞれ ''m'' と ''n'' の多項式とする:
:f=f_+f_X+\dotsb+f_X^,\quad g=g_+g_X+\dotsb+g_X^.
これら 2 つの多項式の終結式 Res(''f'', ''g'') はシルヴェスター行列行列式である:
:\operatorname(f,g)=\det
\begin
f_m & f_ & \cdots & & f_0 & & & \\
& f_m & f_ & \cdots & & f_0 & & \\
& & \ddots & & & & \ddots & \\
& & & f_m & f_ &\cdots & & f_0 \\
g_n & g_ & \cdots & & g_0 & & & \\
& g_n & g_ & \cdots && g_0 & & \\
& & \ddots & & & & \ddots & \\
& & & g_n & g_ & \cdots & & g_0 \\
\end

行列の上の ''n'' 行は ''f'' の係数、下の ''m'' 行は ''g'' の係数からなり、空白の部分はすべて 0 である。したがってシルヴェスター行列は ''m'' + ''n'' 次の正方行列である。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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