|
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、）は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる〔一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。〕。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。 == 定義 == ''V'' と ''W'' とを同じ体 ''F'' の上のベクトル空間とする。''V'' から ''W '' への写像 ''f'' が、任意のベクトル x, y ∈ ''V'' と任意のスカラー ''c'' ∈ ''F'' に対し、 # : ''f''(x + y) = ''f''(x) + ''f''(y) # 斉一次性: ''f''(''c''x) = ''cf'' (x) をともに満たすとき〔加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 R は無限次元 Q-線型空間とも一次元 R-線型空間とも見做すことができるが、R 上の加法的函数は必ず Q-線型写像となり、しかし必ずしも R-線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば R-線型になる）ことが示される。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。〕、''f'' を ''F'' 上の線型写像 または簡単に ''F''-線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 ''f'' は ''V'' から ''W'' への線型写像である」などということもある〔考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数全体の成す体 C は C 上一次元のベクトル空間であるとともに、R 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素共軛をとる操作は C 上の R-線型変換であるが、しかし C-線型ではない。〕。 上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー λ''i'' とベクトル ''v''''i'' に対して : 線型性: のような形で言及することもある。 をともに満たすとき〔加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 R は無限次元 Q-線型空間とも一次元 R-線型空間とも見做すことができるが、R 上の加法的函数は必ず Q-線型写像となり、しかし必ずしも R-線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば R-線型になる）ことが示される。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。〕、''f'' を ''F'' 上の線型写像 または簡単に ''F''-線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 ''f'' は ''V'' から ''W'' への線型写像である」などということもある〔考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数全体の成す体 C は C 上一次元のベクトル空間であるとともに、R 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素共軛をとる操作は C 上の R-線型変換であるが、しかし C-線型ではない。〕。 上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー λ''i'' とベクトル ''v''''i'' に対して : 線型性: のような形で言及することもある。 線型性: のような形で言及することもある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「線型写像」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Linear map 」があります。 スポンサード リンク
|