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代数学において、与えられた群および環に対する群環（ぐんかん、）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環（代数）の構造を持ち、群多元環（ぐんたげんかん、; 群代数）（あるいは短く群環〔これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数環の中心上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。〕）と呼ばれる。 群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論はを見よ。 ==定義== ===二つの定義=== 可換環 を係数として有限個の形式和 : () を作り、積は の積を線型に拡張した : と定義すると、その全体 （''RG'' とも書かれる）は 上の多元環（ブルバキでいうところの線型環）になる。これを の 係数の群環または群多元環とよぶ。明らかに は群環 の生成系であり、これを標準基底と呼ぶ。群 での積と群環 での積を混同するのを避けるため、標準基底としての の元は などと記号を改めて書くこともある。 一方、群 から可換環 への写像 で、有限個の例外を除き () となるようなものの全体を とする。 に和と積を各点 ごとに : : で定めると、 は 上の多元環となる。ここでの積は畳み込み（の一種）である。積が畳み込みであることを強調して、畳み込み多元環 (convolution algebra) という場合がある。この多元環も の を係数とする群環と呼ぶ。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「群環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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