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数学における自由境界問題（じゆうきょうかいもんだい、）とは、未知関数 ''u'' および未知領域 Ω の両方について解かれる、ある偏微分方程式のことを言う。問題の初めには知られていない、領域 Ω の境界の区間 Γ のことを 自由境界（free boundary）と言う。 自由境界問題の古典的な例に、氷の融解が挙げられる。与えられた氷のかたまりに対し、適切な初期条件および境界条件の下で、その温度を決定するような熱方程式を解くことが出来る。しかし、もし任意の領域における温度が氷の融点よりも常に高かったら、その領域は氷の代わりに液体の水で占められることになる。その氷／水の表面の位置が、偏微分方程式の解によって力学的にコントロールされるのである。 == 二相ステファン問題 == 氷の融解は、温度場 ''T'' に対するステファン問題で、それは次のように定式化される。''T'' > 0 の時に現れるような相 1 と、''T'' < 0 の時に現れるような相 2 の二つの相からなる領域 Ω を占めるようなある媒質を考える。その二つの相の温度拡散率はそれぞれ α1 および α2 とする。例えば、水の温度拡散率は 1.4×10−7 m2/s であり、氷の温度拡散率は 1.335×10−6 m2/s である。 単一の相からなる領域において、温度は熱方程式によって決定づけられるものとする。''T'' > 0 の領域においては、 : によって温度が決定され、''T'' < 0 の領域においては、 : で決定される。これは、Ω の（既知の）境界上の適切な条件の下で考えられるものである。ここで Ω は熱のシンクあるいはソースを表す。 時刻 ''t'' において ''T'' = 0 であるような表面（surface）を Γt と表す。この表面は、二つの相の間の界面（interface）である。''ν'' を、第二の（固体の）相への外向き単位法ベクトルとする。このときステファン問題は、向き ''ν'' への自由境界の速度 ''V'' によって支配されるある方程式によって与えられる、表面 ''Γ'' の発展を決定するものである。特に、 : が成り立つ。ここで ''L'' は融解の潜熱（latent heat）を表す。''T''1 は ''x'' が領域 ''T'' > 0 から Γt へ近付くときの勾配の極限を意味し、''T''2 は ''x'' が領域 ''T'' < 0 から Γt へ近付くときの勾配の極限を意味する。 この問題において、全領域 Ω は前もって知られているが、氷／水の表面 Γ は時刻 ''t'' = 0 におけるものしか知られていない。そのステファン問題を解く上で、各領域における熱方程式を解くだけでなく、自由境界 Γ についても追って考えなければならない。 一相ステファン問題は、α1 あるいは α2 のいずれかをゼロとするような問題に相当する。すなわち、それは二相ステファン問題の特別な場合である。この観点から、より複雑な問題として、任意の数の相を伴う問題を考えることも出来る。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「自由境界問題」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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