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::「行列代数」はこの項目へ転送されています。行列の代数的理論については「行列」および「線型代数学」をご覧ください。 抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ ''n''×''n'' 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。 ''R'' が可換環のとき、行列環 M''n''(''R'') は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、''M'' が行列で ''r'' が ''R'' の元であれば、行列 ''Mr'' は行列 ''M'' の各成分に ''r'' をかけたものである。 行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 ''R'' は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。 == 例 == * 任意の環 ''R'' 上のすべての ''n''×''n'' 行列からなる集合。 M''n''(''R'') と表記される。これは通常「n次全行列環」(full ring of ''n'' by ''n'' matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 ''R''''n'' の自己準同型を表す。 * 環上のすべての上（あるいは下）三角行列のなす集合。 * ''R'' が単位元をもつ任意の環であれば、右 ''R'' 加群としての の自己準同型環は列有限行列 (column finite matrices) の環 と同型である。その成分は で添え字づけられており、その各列は 0 でない成分を有限個しか含まない。''M'' の左 ''R'' 加群としての自己準同型を考えると類似の対象、各行が 0 でない成分を有限個しか含まない行有限行列 (row finite matrices) を得る。 * ''R'' がであれば、直前の例の行あるいは列の条件は弱めることができる。そのノルムによる絶対収束列を有限和の代わりに使うことができる。例えば、列の和が絶対収束列である行列は環をなす。もちろんアナロガスに、行の和が絶対収束列である行列も環をなす。このアイデアは例えばヒルベルト空間#ヒルベルト空間上の線型作用素の作用素を表現するために使うことができる。 * 行と和が有限な行列環の共通部分もまた環をなし、 と表記できる。 * の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく ''R'' 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 ''E''11''E''21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 ''GL''(2,R) をなす。 * ''R'' が可換環であれば、行列環は ''R'' 上 *-algebra の構造をもつ、ただし M''n''(''R'') 上の対合 (involution) * は行列の転置である。 * 複素行列多元環 M''n''(C) だけが、同型を除いて、複素数体 C 上の単純結合多元環である。''n'' = 2 に対して、行列多元環 M''2''(C) は 角運動量 の理論で重要な役割を果たす。それは単位行列と3つのパウリ行列によって与えられる代わりの基底をもつ。M''2''(C) は biquaternion の形式による初期の抽象代数学の舞台であった。 * 体上の行列環は積のトレース ''σ''(''A'',''B'')=tr(''AB'') で与えられるフロベニウス形式をもったである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「::「行列代数」はこの項目へ転送されています。行列の代数的理論については「行列」および「線型代数学」をご覧ください。抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ ''n''×''n'' 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。''R'' が可換環のとき、行列環 M''n''(''R'') は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、''M'' が行列で ''r'' が ''R'' の元であれば、行列 ''Mr'' は行列 ''M'' の各成分に ''r'' をかけたものである。行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 ''R'' は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。== 例 ==* 任意の環 ''R'' 上のすべての ''n''×''n'' 行列からなる集合。 M''n''(''R'') と表記される。これは通常「n次全行列環」(full ring of ''n'' by ''n'' matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 ''R''''n'' の自己準同型を表す。* 環上のすべての上（あるいは下）三角行列のなす集合。* ''R'' が単位元をもつ任意の環であれば、右 ''R'' 加群としての M=\bigoplus_R の自己準同型環は列有限行列 (column finite matrices) の環 \mathbb_I(R)\, と同型である。その成分は I\times I で添え字づけられており、その各列は 0 でない成分を有限個しか含まない。''M'' の左 ''R'' 加群としての自己準同型を考えると類似の対象、各行が 0 でない成分を有限個しか含まない行有限行列 (row finite matrices) \mathbb_I(R) を得る。* ''R'' がであれば、直前の例の行あるいは列の条件は弱めることができる。そのノルムによる絶対収束列を有限和の代わりに使うことができる。例えば、列の和が絶対収束列である行列は環をなす。もちろんアナロガスに、行の和が絶対収束列である行列も環をなす。このアイデアは例えばヒルベルト空間」の詳細全文を読む ::「行列代数」はこの項目へ転送されています。行列の代数的理論については「行列」および「線型代数学」をご覧ください。 抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ ''n''×''n'' 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。 ''R'' が可換環のとき、行列環 M''n''(''R'') は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、''M'' が行列で ''r'' が ''R'' の元であれば、行列 ''Mr'' は行列 ''M'' の各成分に ''r'' をかけたものである。 行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 ''R'' は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。 == 例 == * 任意の環 ''R'' 上のすべての ''n''×''n'' 行列からなる集合。 M''n''(''R'') と表記される。これは通常「n次全行列環」(full ring of ''n'' by ''n'' matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 ''R''''n'' の自己準同型を表す。 * 環上のすべての上（あるいは下）三角行列のなす集合。 * ''R'' が単位元をもつ任意の環であれば、右 ''R'' 加群としての の自己準同型環は列有限行列 (column finite matrices) の環 と同型である。その成分は で添え字づけられており、その各列は 0 でない成分を有限個しか含まない。''M'' の左 ''R'' 加群としての自己準同型を考えると類似の対象、各行が 0 でない成分を有限個しか含まない行有限行列 (row finite matrices) を得る。 * ''R'' がであれば、直前の例の行あるいは列の条件は弱めることができる。そのノルムによる絶対収束列を有限和の代わりに使うことができる。例えば、列の和が絶対収束列である行列は環をなす。もちろんアナロガスに、行の和が絶対収束列である行列も環をなす。このアイデアは例えばヒルベルト空間#ヒルベルト空間上の線型作用素の作用素を表現するために使うことができる。 * 行と和が有限な行列環の共通部分もまた環をなし、 と表記できる。 * の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく ''R'' 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 ''E''11''E''21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 ''GL''(2,R) をなす。 * ''R'' が可換環であれば、行列環は ''R'' 上 *-algebra の構造をもつ、ただし M''n''(''R'') 上の対合 (involution) * は行列の転置である。 * 複素行列多元環 M''n''(C) だけが、同型を除いて、複素数体 C 上の単純結合多元環である。''n'' = 2 に対して、行列多元環 M''2''(C) は 角運動量 の理論で重要な役割を果たす。それは単位行列と3つのパウリ行列によって与えられる代わりの基底をもつ。M''2''(C) は biquaternion の形式による初期の抽象代数学の舞台であった。 * 体上の行列環は積のトレース ''σ''(''A'',''B'')=tr(''AB'') で与えられるフロベニウス形式をもったである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「::「行列代数」はこの項目へ転送されています。行列の代数的理論については「行列」および「線型代数学」をご覧ください。抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ ''n''×''n'' 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。''R'' が可換環のとき、行列環 M''n''(''R'') は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、''M'' が行列で ''r'' が ''R'' の元であれば、行列 ''Mr'' は行列 ''M'' の各成分に ''r'' をかけたものである。行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 ''R'' は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。== 例 ==* 任意の環 ''R'' 上のすべての ''n''×''n'' 行列からなる集合。 M''n''(''R'') と表記される。これは通常「n次全行列環」(full ring of ''n'' by ''n'' matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 ''R''''n'' の自己準同型を表す。* 環上のすべての上（あるいは下）三角行列のなす集合。* ''R'' が単位元をもつ任意の環であれば、右 ''R'' 加群としての M=\bigoplus_R の自己準同型環は列有限行列 (column finite matrices) の環 \mathbb_I(R)\, と同型である。その成分は I\times I で添え字づけられており、その各列は 0 でない成分を有限個しか含まない。''M'' の左 ''R'' 加群としての自己準同型を考えると類似の対象、各行が 0 でない成分を有限個しか含まない行有限行列 (row finite matrices) \mathbb_I(R) を得る。* ''R'' がであれば、直前の例の行あるいは列の条件は弱めることができる。そのノルムによる絶対収束列を有限和の代わりに使うことができる。例えば、列の和が絶対収束列である行列は環をなす。もちろんアナロガスに、行の和が絶対収束列である行列も環をなす。このアイデアは例えばヒルベルト空間」の詳細全文を読む ■ウィキペディアで「::「行列代数」はこの項目へ転送されています。行列の代数的理論については「行列」および「線型代数学」をご覧ください。抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ ''n''×''n'' 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。''R'' が可換環のとき、行列環 M''n''(''R'') は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、''M'' が行列で ''r'' が ''R'' の元であれば、行列 ''Mr'' は行列 ''M'' の各成分に ''r'' をかけたものである。行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 ''R'' は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。== 例 ==* 任意の環 ''R'' 上のすべての ''n''×''n'' 行列からなる集合。 M''n''(''R'') と表記される。これは通常「n次全行列環」(full ring of ''n'' by ''n'' matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 ''R''''n'' の自己準同型を表す。* 環上のすべての上（あるいは下）三角行列のなす集合。* ''R'' が単位元をもつ任意の環であれば、右 ''R'' 加群としての M=\bigoplus_R の自己準同型環は列有限行列 (column finite matrices) の環 \mathbb_I(R)\, と同型である。その成分は I\times I で添え字づけられており、その各列は 0 でない成分を有限個しか含まない。''M'' の左 ''R'' 加群としての自己準同型を考えると類似の対象、各行が 0 でない成分を有限個しか含まない行有限行列 (row finite matrices) \mathbb_I(R) を得る。* ''R'' がであれば、直前の例の行あるいは列の条件は弱めることができる。そのノルムによる絶対収束列を有限和の代わりに使うことができる。例えば、列の和が絶対収束列である行列は環をなす。もちろんアナロガスに、行の和が絶対収束列である行列も環をなす。このアイデアは例えばヒルベルト空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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