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数学、特に代数トポロジーにおいては、被覆写像(covering map)（あるいは、被覆射影(covering projection)は、位相空間 C から位相空間への連続函数 p である。 X の各々の点は、p により（イメージ図に示したように）均一に被覆される開近傍をもつ。詳細な定義は以下で与える。この場合に、C を被覆空間(covering space)と呼び、X を被覆写像の底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。 被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する。重要な応用は、X が充分によい位相空間であれば、X の連結な被覆の同型類の集合と、X の基本群の部分群との間の全射が存在する。 == 定義 == X を位相空間とする。X の被覆空間とは、位相空間 C および連続全射 : の組であって、すべての x ∈ X に対し、x の開近傍 U が存在し、p−1(U)（p による U の逆像）が、共通部分を有しない C の開集合の和集合で表され、その各開集合が p により U に同相に写像される。 写像 p は被覆写像〔、空間 X は被覆の底空間と言い、C を被覆の全空間と言う。底空間の任意の点 x の C における逆像は、x 上のファイバーと呼ばれ、必然的に離散空間となる〔。 定義の中の x の特別な開近傍 U は、均一被覆近傍と言う。均一被覆近傍は、空間 X の開被覆となる。均一被覆近傍 U の C における同相的複写は、U 上のシートと言う。一般に C は、X 上に浮いていて p が下向きに写像し、U 上のシートは、U の真上方向に水平に積み重なっていて、x 上のファイバーは、x の真上に垂直にある C の点である。特に、被覆写像は局所的には自明である。このことは局所的には、均一被覆近傍 U の前像 p−1(U) の U × F の上への準同型 h が、各々の被覆写像が射影と同型であることを意味する。ここに F はファイバーであり、局所自明化条件、つまり、U の上への U × F から U の上への射影 π : U × F → U に対して、射影 π と準同型 h との合成は、前像 p−1(U) から U 上への写像 π ∘ h であり、従って、導かれた合成 π ∘ h は p に局所的に（p−1(U) の中では）等しい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「被覆空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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