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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 超越数 ： ウィキペディア日本語版 超越数[ちょうえつすう] 超越数（ちょうえつすう、）とは、代数的数でない数、すなわち有理係数の代数方程式 :$x^n\; +\; a\_\; x^\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_0\; =\; 0$　　（''n'' ≥ 1 かつ、各 ''ai'' は有理数） の解とならないような複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数になる。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。 よく知られた超越数にネイピア数（自然対数の底）や円周率がある。ただし超越性が示されている実数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの  + ''e'' すら超越数かどうか分かっていない。 代数学の標準的な記号 $\backslash mathbb$ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って $A$ と書けば、超越数全体の集合は :$\backslash mathbb\; \backslash setminus\; A\; =\backslash Big\backslash$ となる。 == 超越数の例 == 最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別な人が既に証明しているものも多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。 (1) 超越数となる定数の例 *自然対数の底 $e$ 。　(エルミート (Ch. Hermite)) *円周率 $\backslash pi$ 。　(リンデマン (F. Lindermann)) *$\backslash pi\; +\; e^$, $\backslash pi\; e^$ 。　(ネステレンコ (Yu. V. Nesterenko)) *正の整数を小さいほうから順番に並べた小数であるチャンパーノウン定数 0.123456789101112… 。　(マーラー (K. Mahler)) *連分数展開が $\backslash scriptstyle$a^,\ a^,\ a^,\ \ldots である無理数。但し、$a$ は2以上の整数であり、$\backslash scriptstyle\backslash \_$ はフィボナッチ数列。　(クヌース (D. Knuth)) *チャイティンの定数 Ω 。 *$N$を正整数として、ある超越数の$N$乗は超越数である。 (2) 初等関数の特殊値が超越数となる例 *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0$ に対する、$e^$ 。　(リンデマン) *$\backslash scriptstyle\; i\backslash alpha$ が有理数ではない代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$e^$ 。　(ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、シュナイダー (Th. Schneider)) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha,\backslash \; \backslash beta\backslash ne\; 0$ に対する、$e^$ 。　(ベイカー (A. Baker)) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0$ に対する、$\backslash sin$, $\backslash cos$, $\backslash tan$ 。　(リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass)) *有理数ではない代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash sin$, $\backslash cos$, $\backslash tan$ 。　(ゲルフォント、シュナイダー) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha,\backslash \; \backslash beta\backslash ne\; 0$ に対する、$\backslash sin$, $\backslash cos$, $\backslash tan$ 。　(ベイカー) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0$ に対する、$\backslash sinh\backslash quad$, $\backslash cosh\backslash quad$, $\backslash tanh\backslash quad$ 。　(リンデマン、ワイエルシュトラス) *$\backslash scriptstyle\; i\backslash alpha$ が有理数ではない代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash sinh$, $\backslash cosh$, $\backslash tanh$ 。　(ゲルフォント、シュナイダー) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha,\backslash \; \backslash beta\backslash ne\; 0$ に対する、$\backslash sinh$, $\backslash cosh$, $\backslash tanh$ 。　(ベイカー) *$\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0,\backslash \; 1,\backslash \; \backslash beta\backslash notin\backslash mathbb$ を満たす代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$ に対する、$\backslash alpha^$ 。　(ゲルフォント、シュナイダー) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0,\backslash \; 1$ に対する、$\backslash log$ 。　(リンデマン) *乗法的独立〔整数 $\backslash scriptstyle\; k,\backslash \; l$ に対して、$\backslash scriptstyle\; \backslash alpha^k\; \backslash beta^l\; =\; 1$ ならば、$\backslash scriptstyle\; k\; =\; l\; =\; 0$ が成り立つとき、$\backslash scriptstyle\; \backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$ は、乗法的独立であるという。〕である、0, 1 ではない代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$ に対する、$\backslash log/\backslash log$ 。　(ゲルフォント、シュナイダー) *代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0$ に対する、$\backslash pi\; +\; \backslash log$ 。　(ベイカー) (3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例 *正整数$n$ に対する、ゼータ関数 $\backslash zeta(2n)$ 。　(リンデマン) *$\backslash scriptstyle\; \backslash wp(z)$ を、不変量 $\backslash scriptstyle\; g\_2,\backslash \; g\_3$ が代数的数であるワイエルシュトラスの $\backslash scriptstyle\; \backslash wp$ 関数としたとき、定義域内の任意の代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する $\backslash scriptstyle\; \backslash wp(\backslash alpha)$ 。　(シュナイダー) *$\backslash scriptstyle\; j(\backslash tau)$ をクラインのモジュラ関数とし、$\backslash alpha$ を、上半平面内の3次以上の代数的数としたときの $\backslash scriptstyle\; j(\backslash alpha)$ 。　(シュナイダー) *$\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0$ に対する、位数 0 の第1種ベッセル関数 $J\_0(\backslash alpha)$ 。　(ジーゲル (C. L. Siegel)) *$\backslash scriptstyle\; \backslash alpha\backslash ne\; 0$ に対する、合流型超幾何級数 $F(1,1,c;\; \backslash alpha)$ ($c$ は0以下の整数以外の有理数) 。　(シドロフスキー (A. B. Shidlovsky)) *ガンマ関数 $\backslash scriptstyle\; \backslash Gamma(1/6),\backslash \; \backslash Gamma(1/4),\backslash \; \backslash Gamma(1/3),\backslash \; \backslash Gamma(1/2),\; \backslash \; \backslash Gamma(2/3),\backslash \; \backslash Gamma(3/4),\backslash \; \backslash Gamma(5/6)$ 。　(チュドノフスキー(G. V. Chudnovsky)〔$\backslash scriptstyle\; \backslash Gamma(1/2)\; =\; \backslash sqrt$ であるので、$\backslash scriptstyle\; \backslash Gamma(1/2)$ が超越数であることは、チュドノフスキー以前から知られていた。〕) *ベータ関数 $\backslash scriptstyle\; B(1/2,\; 1/6),\backslash \; B(1/2,\; 1/4),\backslash \; B(1/2,\; 1/3)$ 。　(ジーゲル、シュナイダー、チュドノフスキー) *ヤコビのテータ級数の値 $\backslash scriptstyle\backslash vartheta\_1(0,\backslash alpha),\backslash \; \backslash vartheta\_2(0,\backslash alpha),\backslash \; \backslash vartheta\_3(0,\backslash alpha)$〔但し、ここでは、テータ関数の第2変数 $\backslash tau$ を、$q\; =\; e^$ で変数変換した級数で考えている。〕 。　(ネステレンコ) (4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例 *リウヴィル級数： である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash alpha^$ 。　(マーラー) *フレドホルム級数：2以上の整数 $d$ と、 である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash alpha^$ 。　(マーラー) *自然数列 $\backslash scriptstyle\; \backslash \_\backslash \; (d\_k\; \backslash ge\; 2)$ と、 である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash alpha^$ 。　(西岡) *$\backslash scriptstyle\; \backslash omega>0$ 、整数 $\backslash scriptstyle\; d\backslash ge\; 2$、 である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash alpha^$ 。　(田中) *ヘッケ＝マーラー級数：無理数 $\backslash scriptstyle\; \backslash omega>0$ と、 である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty$\alpha^ 。　(マーラー) *整数 $\backslash scriptstyle\; d\backslash ge\; 2$、 である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash scriptstyle\backslash prod\_^\backslash infty(1-\backslash alpha^)$ 。　(マーラー) * である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash scriptstyle\backslash prod\_^\backslash infty(1-\backslash alpha^k)$ 。　(ネステレンコ) *$\backslash sigma\_k(n)$ ($\backslash scriptstyle\; k=1,\backslash \; 3,\backslash \; 5$)を約数関数とする。 である代数的数 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$ に対する、$\backslash scriptstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash sigma\_k(n)\backslash alpha^$ 。　(ネステレンコ) (5) 逆数和からなる級数が超越数となる例 *$\backslash scriptstyle\; |a|\backslash ge\; 2$を満たす整数 $a$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash frac$ 。　(ドゥヴェルネ (D. Duverney)) 以下において、$\backslash scriptstyle\backslash \_$ はフィボナッチ数列とする。 *$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash frac$ 。　(ミニョット (M. Mignotte)、マーラー) *$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash frac$ 。　(西岡、トッファー (T. Töpher)) *$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash frac$ 。　(ベッカー (P. -G. Becker)、トッファー) *任意の正整数 $m$ に対する、$\backslash textstyle\; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash frac,\backslash \; \backslash sum\_^\backslash infty\backslash frac$ 。　(ドゥヴェルネ、西岡(啓)、西岡(久)、塩川) 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「超越数」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.