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一般化された関数、あるいは超関数（ちょうかんすう、）とは、関数を一般化した概念である。通常はシュワルツの超関数 か佐藤の超関数 のいずれかを指す。 超関数は、連続関数に対する微分の概念を拡張し、偏微分方程式の解空間を拡げた。超関数は不連続関数の構成において特に有用であり、物理や工学で扱われる離散的な問題においては、デルタ関数のような超関数を解とするような微分方程式が導かれるため重要である。たとえば点電荷のような電荷分布はディラックのデルタ関数を用いて表現される。 超関数の起源は演算子法に見ることができるが、直接的には、セルゲイ・ソボレフやローラン・シュヴァルツらの仕事がその始まりである。 1935年にソボレフが、部分積分を形式的に用いて、微分方程式の解の拡張をしたのをはじめ、何人かの数学者によって微分の拡張が行われ始め、1940年代末にはシュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた。1958年に佐藤幹夫が層コホモロジーの理論を応用して、シュワルツらとは別の見地に立った超関数論を組み立てた。超関数論に重要な影響を与えたのは、偏微分方程式や群の表現の理論などからの技術的な要請であった。 == 概要 == 「超関数」の導入は、ディラックのデルタ関数のような通常の関数の概念では許されない「関数」をもそれを「超関数」として扱うことで通常の関数と統一的に扱うことを可能にし、不連続関数の「微分」や偏微分方程式の「弱い解」などに合理的根拠を与えるなど、解析演算の自由度を著しく高めた。 実際に超関数を用いるには、まず通常の関数に対応する要素をもち、かつさらに広い要素にも対処できる一つの数学的表現を定め、それを超関数と定義する。そして例えば関数を微分するなどの演算も対応する超関数の表現に対する操作として定義し直す。こうして例えばヘヴィサイドの階段関数では、それを超関数に読み替えたものを微分すると通常の関数とは解釈出来ない表現が得られる。それがディラックのデルタ関数という名の超関数である。 超関数論では、通常の関数の演算に対応する超関数の表現の操作を定め、超関数の計算規則をつくる。と同時に主な超関数に対して微分やフーリエ変換といった演算を施した結果を求め、それを公式集としてまとめておく（これらの計算規則や公式は数学的に厳密な表現に対する操作で定義され、実行されているので、数学的な正当性が保証されていることに注意）。すると超関数の計算は、計算規則に則り、公式集の助けを借りて、機械的に行うことが出来て、それを超関数と意識する必要もなくなる。かくして通常の関数に対応する超関数では普通の関数記号 を使ってそのまま演算を実行でき、結果が普通の関数でなくなればディラックのデルタ関数のような超関数の記号が現れる。 こうして超関数を用いることにより、不連続関数の微分、デルタ関数、アダマールの発散積分の有限部分、緩増加関数のフーリエ変換など、従来の数学の枠内には納まらない演算まで自由に扱うことが出来るようになった。 「超関数」は上記の性質を満たすように定義されていれば何でも使えるので、その定義の仕方は一通りではない。通常はこの言葉で代表的な 2 つの定義方法である、シュワルツの超関数か佐藤の超関数かのいずれかを指す。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「超関数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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