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量子群
数学と理論物理学において、用語量子群（りょうしぐん、）は付加構造を持った様々な種類の非可換代数を指す。一般に、量子群はある種のである。ただ1つの包括的な定義があるわけではなく、広範に類似した対象の族がある。
用語「量子群」は最初量子可積分系の理論において現れた。ウラジーミル・ドリンフェルト (, ) と神保道夫によってホップ代数のある特定のクラスとして定義されたのだった。同じ用語は古典リー群あるいはリー環を変形したあるいはそれに近い他のホップ代数に対しても用いられる。例えば、ドリンフェルトと神保の仕事の少し後にによって導入された、量子群の `bicrossproduct' のクラスである。
ドリンフェルトのアプローチでは、量子群は補助的なパラメーター ''q'' あるいは ''h'' に依存したホップ代数として生じる。この代数は、''q'' = 1 あるいは ''h'' = 0 のとき、ある種のリー環（しばしば半単純あるいはアフィン）の普遍包絡環になる。密接に関係するのはある双対対象であり、これもホップ代数であり量子群と呼ばれる。これは対応する半単純代数群あるいは上の関数環を変形したものである。
群がしばしば対称性として現れるのと同じように、量子群は多くの他の数学的対象に作用する。そのような場合に形容詞「量子」(quantum) を導入することが流行となっている。例えばやといったものがある。
== 直観的意味 ==
量子群の発見は全く予想されていなかった、というのも、長い間、コンパクト群や半単純リー環は「堅い」対象である、言い換えると、「変形」(deform) できないと思われていたからだ。量子群の背後にある思想の1つは、ある意味で同値だがより大きい構造、すなわち群環や普遍包絡環を考えれば、群あるいは包絡環は「変形」できる（変形すると群や包絡環ではなくなるが）ということである。正確には、変形は可換ともとも限らないの圏において達成される。変形した対象を、アラン・コンヌ () の非可換幾何の意味での「非可換空間」上の関数の代数として考えることができる。しかしながら、この直観は、Leningrad School (Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgenii Sklyanin, Nicolai Reshetikhin and Vladimir Korepin) と、Japanese School による関連した研究によって発展された、量子との研究において、量子群の特定のクラスが有用性を既に証明された後に来た。量子群の第二ののクラスの背後にある直観は異なり、量子重力へのアプローチとして自己双対な対象の研究から来た。
抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』
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