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位相空間論において、開写像 (open map) は2つの位相空間の間の開集合を開集合に写す関数である。つまり、関数 ''f'' : ''X'' → ''Y'' が開であるとは、''X'' の任意の開集合 ''U'' に対して、像 ''f''(''U'') が ''Y'' において開であるということである。同様に、閉写像 (closed map) は閉集合を閉集合に写す関数である。 閉写像の概念を閉作用素の概念と混同してはいけない。さらに、開写像が閉写像であるとは限らないし、閉写像が開写像であるとも限らない〔http://math.stackexchange.com/questions/242010/is-a-continuous-mapping-which-is-also-open-closed-must-be-closedopen?rq=1〕。 開写像も閉写像も連続であるとは限らない。それらの定義はより自然に見えるが、開写像や閉写像は連続写像よりはるかに重要でない。定義によって関数 ''f'' : ''X'' → ''Y'' が連続であるとは ''Y'' のすべての開集合の原像が ''X'' において開であるということであることを思い出そう。（同じことであるが、''Y'' のすべての閉集合の原像が ''X'' において閉であるということである。） == 例 == すべての同相写像は開、閉、連続である。実際、全単射な連続写像が同相写像であることと開写像であること、あるいは同じことだが、閉写像であることは同値である。 ''Y'' が離散位相を持っていれば（すなわちすべての部分集合が開かつ閉であれば）すべての関数 ''f'' : ''X'' → ''Y'' は開写像かつ閉写像である（が連続であるとは限らない）。例えば、R から Z への床関数は開かつ閉だが、連続でない。この例は連結空間の開あるいは閉写像による像が連結であるとは限らないことを示している。 位相空間の積 ''X''=Π''X''''i'' があるときにはいつでも、自然な射影 ''p''''i'' : ''X'' → ''X''''i'' は開である（連続でもある）。 ファイバー束の射影と被覆写像は積の局所的に自然な射影であるから、これらもまた開写像である。射影はしかしながら閉であるとは限らない。例えば第一成分への射影 ''p''1 : R2 → R を考えよ。''A'' = は R2 において閉だが、''p''1(''A'') = R − は閉でない。しかしながら、コンパクトな ''Y'' に対して、射影 ''X'' × ''Y'' → ''X'' は閉である。これは本質的に tube lemma である。 単位円上のすべての点に、正の ''x''-軸の、原点とその点を結ぶ半直線との角度を割り当てることができる。単位円から半開区間 ''f''(''x'') = ''x''2 で定まる関数 ''f'' : R → R は連続かつ閉だが開でない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「開写像と閉写像」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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