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閉形式と完全形式 : ウィキペディア日本語版
ポアンカレの補題[ぽあんかれのほだい]
数学において、ポアンカレの補題(ぽあんかれのほだい、Poincaré lemma)とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式である微分形式が完全形式となることを主張する。
==概要==

===導入===
多様体上の ''k'' 次微分形式 ω に対し、外微分 ''d'' を施したとき、
:
d\omega=0 \,

が成り立つとき、ω は閉形式 (closed form) であるという。あるいは同じことだが、''d'' のの元を閉形式という。
また、''k'' 次微分形式 ω に対し、''k''-1 次微分形式 η で
:
\omega=d\eta \,

を満たすものが存在するとき、ω は完全形式 (exact form) であるという。あるいは同じことだが、''d'' のの元を完全形式という。
外微分の性質
:
d \circ d=0 \,

より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。
ポアンカレの補題は『ユークリッド空間 R''n'' (より一般的には可縮多様体 ''M'')において、閉形式が完全形式となること』を主張する。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ポアンカレの補題」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Closed and exact differential forms 」があります。



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