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閉曲線 : ウィキペディア日本語版
曲線[きょくせん]

一般に、曲線(きょくせん、curve)はまっすぐではない曲がった、したがって直線ではない線を意味する語である。数学においては、曲線にはその特別な場合として直線や線分の概念を含む。特に解析幾何学において、曲線は本質的に一変数の連続関数の組を用いて記述される。
== 定義 ==

=== 平面曲線 ===
パラメータ ''t'' は実数のある区間 ''I''(たとえば、数直線全体 R とか閉区間 1 など)を動くものとし、連続関数 φ(''t''), ψ(''t'') を与える。このとき、''x'' = φ(''t''), ''y'' = ψ(''t'') とおくことにより、''xy''-平面 R2 において、(''x'', ''y'') = (φ(''t''), ψ(''t'')) で表される点の軌跡を平面曲線という。
あるいはこれを φ(''t'') = (φ(''t''), ψ(''t'')) と置いて得られる実変数ベクトル値関数 φ: ''I'' → R2 そのものを平面曲線と呼ぶこともある。このとき曲線には、''I'' での大小関係から自然に向きがつく。
もし、''x'' = φ(''t'') が ''t'' について解くことができるなら、''t'' = φ-1(''x'') と書けて、''y'' = ψ(φ-1(''x'')) となるから、
:y = f(x) \quad (f = \psi \circ \varphi^)
という連続関数 ''f'' が得られる。逆に、連続関数 ''f'' があって ''y'' = ''f''(''x'') と書けているなら、φ = id''I'', ψ = ''f''(あるいは同じことだが、''x'' = ''t'', ''y'' = ''f''(''t''))と置いてやれば (φ(''t''), ψ(''t'')) = (''x'', ''f''(''x'')) の軌跡は平面曲線を描く。
あるいは、''x'' = φ(''t''), ''y'' = ψ(''t'') を連立してパラメータ ''t'' が消去できるなら、それは 2 変数の連続関数 ''F'' を用いて、''F''(''x'', ''y'') = 0 の形に表すことができる。このとき一般には、''F'' = 0 はもとの曲線以外にも複数の陰関数を含む。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「曲線」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Curve 」があります。



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