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開集合（かいしゅうごう、）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合）として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < ''x'' < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ ''x'' ≤ 5 としたものや 2 ≤ ''x'' < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < ''x'' < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる（詳しくは位相空間の項を参照されたい）。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において（普通の意味での）境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり（離散位相）、開集合は空集合と空間全体だけとしたり（密着位相）することもできる。 ==性質== * 必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である。 * 有限個の開集合の共通部分はまた開集合である。無限個の場合はその限りではない。 * 距離空間 (''X'', ''d'') において ''x'' を中心とする半径 ε の開球体 ''B''(''x''; ε) は開集合であり、任意の開集合 ''A'' はある ''x'' ∈ ''A'' を中心とする十分小さな半径 ε の球体 ''B''(''x''; ε) を含む。 * 開集合の補集合は閉集合である。 * 多様体の一つの開集合は部分多様体である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「開集合」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Open set 」があります。 スポンサード リンク
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