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数学、特に位相幾何学における曲面（きょくめん、）は二次元位相多様体である。最もよく知られた曲面の例は、古典的な三次元ユークリッド空間 R3 内の立体の境界として得られる曲面である。例えば、球体の境界としての球面はそのようなものの例になっている。他方でクラインの壷などの、特異点や自己交叉を持つことなしに三次元ユークリッド空間に埋め込み不可能な曲面というものも存在する。 曲面が「二次元」であるというのは、それが二次元の座標系を入れた「座標付きのきれはし」の貼り合せになっているということを指し示している。例えば、「地球の表面」は（理想的には）二次元球面であり、経線と緯線はその球面上の二次元座標系を与えている（ただし、両極を180度子午線で結んだ部分を除く）。 == 例 == 様々な例をみてみることで、一般的な曲面の概念と、曲面概念がいかに多様で豊富であるかがわかる。どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。 * 可展面 は内在的には「曲がっていない」曲面、つまり平面から伸縮することなく得られる曲面である。例として柱面・錐面、4次元空間におけるトーラスがあげられる。ペーパークラフトは可展面により構成される。 * 線織面 各点についてそこを通る内在的に「まっすぐな」線が存在するような曲面。柱面や一葉双曲面がその例になっている。 * 回転面 は円柱対称性をもった曲面である。 * 極小曲面 とは与えられた境界条件に対し面積を極小・最小にするような曲面である。カテノイド（懸垂面）やヘリコイド（常螺旋面）が例として挙げられる。針金の枠に張ったシャボン膜は表面張力がはたらくことにより極小曲面をなす。 * 代数曲面は代数方程式系の零点集合として定義される。例として二次曲面・三次曲面・ヴェロネーゼ曲面が挙げられる。 * 陰伏曲面 は一般的な方程式系の零点集合として定義される。 * クラインの壺やメビウスの帯は向きのつかない多様体の例である。 * リーマン面とは複素解析的な構造を持つ曲面のことであり、特に、それらの間の正則写像の概念が定義できる。例えば球面やトーラスが挙げられる。 * 射影曲面は射影空間の中で定義される。ボーイ曲面〔Make your Boy surface ←ここをクリックしたらボーイ曲面（ボーイ・サーフェス,Boy suraface）をはさみと紙とセロテープで工作する動画が見られます。設計図 ←ここをクリックしたら、その紙工作の設計図が見られます。（この設計図のwebsiteは、その動画の下にも書かれてあり、そこからもlinkしています。）〕やローマン曲面、クロスキャップ（実射影平面）が挙げられる。これらはみなシュタイナー曲面になっている。 * アレクサンダーの角付き球面は、普通のなめらかな曲面とカントール集合になっている特異点集合をあわせた位相構造を持つ曲面の例になっている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「曲面」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Surface 」があります。 スポンサード リンク
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