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数学における八元数（はちげんすう、; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の 𝕆）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けたジョン・グレイヴスによって1843年に発見され、グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と呼ぶことがある。 == 定義 == 八元数は実数の八つ組と見做すことができる。任意の八元数 ''x'' は、''e''0 をスカラー元あるいは実元（実数 と同一視される）とする単位八元数 : の実係数線型結合として、適当な実係数 を以って : の形に書くことができる。 八元数の加法及び減法は（四元数の場合と同様に）、それぞれの対応する項においてそれらの係数に対する加法及び減法によって定める。乗法についてはより複雑である。積は和の上に分配的であり、従って二つの八元数の乗法は（やはり四元数の場合と同様に）、それぞれの項の積の総和として計算することができる。各項の積は係数の積と単位八元数に対する乗積表から決まる。乗積表としては例えば〔この乗積表はアーサー・ケイリ (1845) とジョン・グレイブス (1843) によるもの。を参照〕 を考えるとよい。この表の非対角成分のほとんどは反対称で、主対角線と に対応する行と列とを消せば歪対称行列が作れる。 この乗積表は以下の関係 : （ここで は ''ijk'' = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 のとき値が +1 となる完全反対称テンソル）、および : （''e''0 はスカラー元で ''i'', ''j'', ''k'' = 1, …, 7）にまとめることができる〔 〕。 上記の積の決め方は一意的に決まるものではないが、八元数の乗法を定義しうるたった 480 種類の乗積表のうちの一つになっている。他の乗法は非スカラー元を並べ替えて得られるもので、基底の取り換えを行うことに相当する。それ以外の場合には、いくつかの積の法則を固定すると八元数が持つ他の法則が崩れることを見る。それら 480 種類の八元数の代数系は互いに同型であるから、実用上は同一視してかまわないし、そもそもどの乗積表を用いたかを考慮する必要が生じることは稀である〔 Available as ArXive preprint Figure 1 is located here .〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「八元数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Octonion 」があります。 スポンサード リンク
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