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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク Kan拡張 ： ミニ英和和英辞書 Kan拡張[1つの] ===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 Kan拡張 ： ウィキペディア日本語版 Kan拡張[1つの] 圏論においてカン拡張とは普遍性を持つ構成の一種である。 カン拡張は随伴関手と近い関係を持つばかりでなく、圏における極限概念やエンドとも関係している。カン拡張の名は1960年に極限を用いてこの拡張を構成した ダニエル・カンの名に由来している。黎明期のカン拡張はホモロジー代数で導来関手を求める際に使われていた。 ''圏論の基礎''（ ソーンダース・マックレーン 著）においてMac Laneは「すべての概念はカン拡張である」と述べ、さらには「カン拡張には圏論における基本的な概念がすべて含まれている」とまで述べている。 ある部分集合上で定義された関数を全体集合にまで拡張する操作を一般化したものがカン拡張である。カン拡張の定義は、当然のように高度に抽象化されている。特別な場合として、半順序集合の場合には、カン拡張は'constrained optimization'の問題となり比較的馴染み深いものになる。 ==定義== 3つの圏 :$\backslash mathbf,\backslash mathbf,\backslash mathbf$ および二つの関手 :$X\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf,\; F\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf$, が与えられたとき、$F$に沿った$X$のカン拡張は「左」カン拡張と「右」カン拡張の2種類がある。 どちらも、次の図式の破線で書かれた関手と2-セル$\backslash eta$を見つけることに相当する。 : Right Kan Extension 形式的には、''$X$の$F$に沿った右カン拡張''とは関手$R\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf$と自然変換$\backslash eta\; \backslash colon\; RF\; \backslash to\; X$で余普遍性をもつもののことをいう。これは、任意の関手$M\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf$と自然変換 $\backslash mu\; \backslash colon\; MF\; \backslash to\; X$に対して、自然変換$\backslash delta\; \backslash colon\; M\; \backslash to\; R$が一意的に定まって次の図式を可換にすることを意味する。 : :(ここで、$\backslash delta\_F$は各$a\backslash in\backslash mathbf$に対して、コンポーネント$\backslash delta\_F(a)\; =\; \backslash delta(Fa)\backslash colon\; MF(a)\; \backslash to\; RF(a)$を持つ自然変換である) 関手''R''はしばしば$\backslash operatorname\_FX$と書かれる。 圏論におけるほかの普遍的構成と同じようにして、「左」カン拡張は右カン拡張の双対概念として得られる。すなわち上記の自然変換たちの向きを単に逆にするだけである。(関手$F,G\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf$の間の自然変換 $T$は、$\backslash mathbf$の任意の対象$a$に対して、「自然な」性質を満たす射 $T(a)\; \backslash colon\; F(a)\; \backslash to\; G(a)$で定まっていることに注意する。双対圏に変えるとき、$T(a)$のドメインと余ドメインが取り替えられて、$T$は逆の方向に働くのである)。 つまり右カン拡張と同様にして次のように述べられる: ''$X$の$F$に沿った左カン拡張''とは関手 $L\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf$ と自然変換$\backslash epsilon\; \backslash colon\; X\; \backslash to\; L\; F$で普遍性をもつもののことをいう。これは、任意の関手$M\; \backslash colon\; \backslash mathbf\; \backslash to\; \backslash mathbf$と自然変換 $\backslash alpha\; \backslash colon\; X\; \backslash to\; MF$に対して、自然変換$\backslash sigma\; \backslash colon\; L\; \backslash to\; M$が一意的に定まって次の図式を可換にすることを意味する。 : :(ここで、$\backslash sigma\_F$は各$a\backslash in\backslash mathbf$に対して、コンポーネント$\backslash sigma\_F(a)\; =\; \backslash sigma(Fa)\backslash colon\; LF(a)\; \backslash to\; MF(a)$を持つ自然変換である) そして関手''L''はしばしば$\backslash operatorname\_FX$と書かれる。すべての普遍的構成と同様に、カン拡張も同型を除いて一意に定まる。左カン拡張の場合に関して言えば、もし$L,\; M$のふたつが$X$の$F$に沿った左カン拡張で、$\backslash epsilon,\; \backslash alpha$が上記の自然変換だとするとき、図式を可換にするような関手の同型$\backslash sigma\; \backslash colon\; L\; \backslash to\; M$が一意に存在するのである。右カン拡張の場合も同様である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「Kan拡張」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.