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環論という抽象代数学の分野において、右カシュ環 (right Kasch ring) とは環 ''R'' であってすべての単純右 ''R'' 加群が ''R'' の右イデアルに同型であるようなものである〔このイデアルは必ず極小右イデアルである。〕。同様に左カシュ環の概念が定義され、2つの概念は互いに独立である。 カシュ環は数学者フリードリヒ・カシュ (Friedrich Kasch) に敬意を表して名づけられている。カシュはもともと真のイデアルが零でない零化域を持つようなアルティン環を ''S-環'' (S-ring) と呼んでいた 。以下の特徴づけはカシュ環が S-環を一般化したものであることを示している。 ==定義== 同値な定義を右カシュ環に対してのみ紹介する。左カシュ環に対しても同様のことが正しい。カシュ条件には零化イデアルの概念を用いたいくつかの同値条件があり、この記事では零化イデアルの記事に現れるのと同じ表記を用いる。 導入部で与えられた定義に加えて、以下の性質は環 ''R'' が右カシュであるための同値な定義である。 に書かれている。 # すべての単純右 ''R'' 加群 ''S'' に対して、''M'' から ''R'' への非零加群準同型が存在する。 # ''R'' の極大右イデアルは環の元の右零化イデアルである、つまり、各極大右イデアルは , ただし ''x'' は ''R'' の元、の形である。 # ''R'' の任意の極大右イデアル ''T'' に対して、 である。 # ''R'' の任意の真の右イデアル ''T'' に対して， である。 # ''R'' の任意の極大右イデアル ''T'' に対して、 である。 # ''R'' は稠密右イデアルを ''R'' 自身を除いて持たない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「カシュ環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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