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リー群（リーぐん、）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。 == 定義 == ''G'' を台集合とする実リー群とは、''G'' には実数体上有限次元で（多くの場合無限回微分可能という意味で）可微分な実多様体の構造が定められていて、''G'' はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての ''G'' 上の写像として可微分であるもののことである（群演算が可微分写像となっていることを「群演算が可微分多様体の構造と両立する（可換である、あるいはうまくいっている）」といい表す）。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「''G'' はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて複素リー群の概念が定まる。 リー群の定義を圏論の言葉で述べれば、リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことであるということができる。 複素数体 C 上の二次特殊線型群 ''SL''(2, C) などは複素リー群の例である。また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて（代数的）行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類（正確には、ある代数閉体上の一般線型群の部分群であって、成分の代数方程式によって与えられるもの）に属す。 一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。また、類似物として係数の属する体を ''p''-進数体にとりかえて ''p''-進リー群が定義される。あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。すなわち、''G'' が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、''G'' 上の解析的構造が唯一つ存在して、''G'' をリー群にすることができる（ヒルベルトの第５問題あるいはヒルベルト-スミス予想）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「リー群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Lie group 」があります。 スポンサード リンク
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