|
数学において、平方因子をもたないあるいは square-free な整数 (square-free integer, quadratfrei integer) とは、1 を除くどんな完全平方でも割り切れないような整数である。例えば、10 は square-free だが、18 は 9 = 32 で割り切れるので square-free でない。square-free な正整数は小さい順に :1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... == 同値な特徴づけ == 正整数 ''n'' が square-free であることと、''n'' の素因数分解においてどの素数も1回よりも多く現れることがないことは同値である。別の言い方をすれば、''n'' の各素因数 ''p'' に対して、素数 ''p'' は ''n'' / ''p'' を割らない。また別の言い方をすれば、''n'' は square-free であることと、すべての分解 ''n'' = ''ab'' に対して因数 ''a'' と ''b'' が互いに素であることは同値である。この定義から直ちに、すべての素数は square-free である。 正整数 ''n'' が square-free であることと μ(''n'') ≠ 0 は同値である、ただし μ はメビウス関数を表す。 正整数 ''n'' が square-free であることと位数 ''n'' のすべてのアーベル群が同型であることは同値であり、それらがすべて巡回群であることとも同値である。このことは有限生成アーベル群の分類から従う。 整数 ''n'' が square-free であることと剰余環 Z / ''n''Z （合同算術参照）が体の積であることは同値である。このことは中国の剰余定理と Z / ''k''Z の形の環が体であることと ''k'' が素数であることが同値であることから従う。 すべての正整数 ''n'' に対して、''n'' のすべての正の約数からなる集合は、整除性で順序を入れることによって半順序集合になる。この半順序集合はつねにである。それがであることと ''n'' が square-free であることは同値である。 はつねに square-free である。整数は自分の根基に等しければ square-free である。 すべての正整数 ''n'' に対して、''n'' のすべての正の約数からなる集合は、整除性で順序を入れることによって半順序集合になる。この半順序集合はつねにである。それがであることと ''n'' が square-free であることは同値である。 はつねに square-free である。整数は自分の根基に等しければ square-free である。 ''Z の形の環が体であることと ''k'' が素数であることが同値であることから従う。 すべての正整数 ''n'' に対して、''n'' のすべての正の約数からなる集合は、整除性で順序を入れることによって半順序集合になる。この半順序集合はつねにである。それがであることと ''n'' が square-free であることは同値である。 はつねに square-free である。整数は自分の根基に等しければ square-free である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「平方因子をもたない整数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|