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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク Tor函手 （ リダイレクト：Tor関手 ） ： ウィキペディア日本語版 Tor関手[て] ホモロジー代数において、Tor 関手 (Tor functor) はテンソル積の関手の導来関手である。それらは最初一般に代数トポロジーにおいてと普遍係数定理を表現するために定義された。 Specifically, ''R'' を環とし、''R''-Mod で左 ''R''-加群の圏を、Mod-''R'' で右 ''R''-加群の圏を表す（''R'' が可換環であれば2つの圏は一致する）。''R''-Mod の加群 ''B'' を選んで固定する。Mod-''R'' の元 ''A'' に対し、''T''(''A'') = ''A''⊗''R''''B'' とおく。すると ''T'' は Mod-''R'' から Ab への右完全関手である（''R'' が可換なときは、Mod-''R'' から Mod-''R'' への右完全関手である）。そして、その左導来関手 ''LnT'' が定義される。 : $\backslash mathrm\_n^R(A,B)=(L\_nT)(A)$ とおく。すなわち、射影分解 : $\backslash cdots\backslash rightarrow\; P\_2\; \backslash rightarrow\; P\_1\; \backslash rightarrow\; P\_0\; \backslash rightarrow\; A\backslash rightarrow\; 0$ をとり ''A'' の項を取り除き射影分解に ''B'' をテンソルして複体 : $\backslash cdots\; \backslash rightarrow\; P\_2\backslash otimes\_R\; B\; \backslash rightarrow\; P\_1\backslash otimes\_R\; B\; \backslash rightarrow\; P\_0\backslash otimes\_R\; B\; \backslash rightarrow\; 0$ を得る（''A''⊗''R''''B'' は現れず最後の射は単に0写像であることに注意せよ）。そしてこの複体のホモロジーをとる。 == 性質 == * すべての ''n'' ≥ 1 に対して、Tor は Mod-''R'' × ''R''-Mod から Ab への加法的関手である。''R'' が可換である場合には、Mod-''R'' × Mod-''R'' から Mod-''R'' への加法的関手である。 * 導来関手のすべての族に対して正しいように、すべての短完全列 0 → ''K'' → ''L'' → ''M'' → 0 は次の形の長完全列を誘導する。 ::$\backslash cdots\backslash rightarrow\backslash mathrm\_2^R(M,B)\backslash rightarrow\backslash mathrm\_1^R(K,B)\backslash rightarrow\backslash mathrm\_1^R(L,B)\backslash rightarrow\backslash mathrm\_1^R(M,B)\backslash rightarrow\; K\backslash otimes\; B\backslash rightarrow\; L\backslash otimes\; B\backslash rightarrow\; M\backslash otimes\; B\backslash rightarrow\; 0$. * ''R'' が可換で ''r'' ∈ ''R'' が零因子でなければ、 ::$\backslash mathrm\_1^R(R/(r),B)=\backslash$ であり、ここから用語 ''Tor'' (すなわち ''Torsion'') が来ている。捩れ部分群参照。 * すべての ''n'' ≥ 2 に対して、Tor(''A'',''B'') = 0。理由：すべてのアーベル群 ''A'' は、自由アーベル群の部分群は自由アーベル群なので、長さ1の自由分解をもつ。なのでこの重要な特別な場合には、''n'' > 1 の Tor 関手は消える。さらに、Tor(Z/''k''Z,''A'') = Ker(''f'') ただし ''f'' は"''k''による積"を表す。 * さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、''F'' が自由 ''R''-加群であれば、すべての ''n'' ≥ 1 に対して Tor(''F,B'') = 0。 * Tor 関手はと任意の直和を保つ。つまり、次のが存在する。 ::$\backslash mathrm\_n^R\; \backslash left\; (\backslash bigoplus\_i\; A\_i,\; \backslash bigoplus\_j\; B\_j\; \backslash right)\; \backslash simeq\; \backslash bigoplus\_i\; \backslash bigoplus\_j\; \backslash mathrm\_n^R(A\_i,B\_j)$ : * 有限生成アーベル群の分類から、すべての有限生成アーベル群は Z と Z''k'' のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、''A'' が有限生成であるときにはいつでも Tor(''A'', ''B'') を計算することができる。 * 加群 ''M'' in Mod-''R'' が平坦であることと、Tor(''M'', -) = 0 であることは同値である。このとき、すべての ''n'' ≥ 1 に対して Tor(''M'', -) = 0 でさえある。実は、Tor(''A,B'') を計算するには、射影分解の代わりに ''A'' あるいは ''B'' の''自由分解''を使ってもよい。（射影分解は自動的に平坦分解であるが逆は正しくないので平坦分解を許す方が柔軟であることに注意しよう。）'Z,''A'') = Ker(''f'') ただし ''f'' は"''k''による積"を表す。 * さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、''F'' が自由 ''R''-加群であれば、すべての ''n'' ≥ 1 に対して Tor(''F,B'') = 0。 * Tor 関手はと任意の直和を保つ。つまり、次のが存在する。 ::$\backslash mathrm\_n^R\; \backslash left\; (\backslash bigoplus\_i\; A\_i,\; \backslash bigoplus\_j\; B\_j\; \backslash right)\; \backslash simeq\; \backslash bigoplus\_i\; \backslash bigoplus\_j\; \backslash mathrm\_n^R(A\_i,B\_j)$ : * 有限生成アーベル群の分類から、すべての有限生成アーベル群は Z と Z''k'' のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、''A'' が有限生成であるときにはいつでも Tor(''A'', ''B'') を計算することができる。 * 加群 ''M'' in Mod-''R'' が平坦であることと、Tor(''M'', -) = 0 であることは同値である。このとき、すべての ''n'' ≥ 1 に対して Tor(''M'', -) = 0 でさえある。実は、Tor(''A,B'') を計算するには、射影分解の代わりに ''A'' あるいは ''B'' の''自由分解''を使ってもよい。（射影分解は自動的に平坦分解であるが逆は正しくないので平坦分解を許す方が柔軟であることに注意しよう。） Mod-''R'' が平坦であることと、Tor(''M'', -) = 0 であることは同値である。このとき、すべての ''n'' ≥ 1 に対して Tor(''M'', -) = 0 でさえある。実は、Tor(''A,B'') を計算するには、射影分解の代わりに ''A'' あるいは ''B'' の''自由分解''を使ってもよい。（射影分解は自動的に平坦分解であるが逆は正しくないので平坦分解を許す方が柔軟であることに注意しよう。） 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「Tor関手」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.