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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク Ζ(2) （ リダイレクト：バーゼル問題 ） ： ウィキペディア日本語版 バーゼル問題[ばーぜるもんだい] バーゼル問題（バーゼルもんだい、Basel problem）とは級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。1644年に Pietro Mengoli によって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた。バーゼルとはオイラーの故郷であり、この問題を解くのに失敗したベルヌーイ一家の故郷でもある。 オイラーはこの問題の一般化を解決した。ベルンハルト・リーマンはそのアイディアを取り入れることでゼータ関数を定義し、その性質を調べることに繋がった（1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」）。 求める平方数の逆数和を記号で書くと、次のようになる。 :$\backslash sum\_^\backslash infin\; \backslash frac\; =\backslash lim\_\; \backslash left(\; \backslash frac\; +\; \backslash frac\; +\backslash cdots\; +\backslash frac\; \backslash right)$ これは、ゼータ関数 :$\backslash zeta\; (s)=\backslash sum\_^\backslash infty$ の ''s'' = 2 における値 ''ζ''(2) でもある。答えは、円周率を とすると $\backslash frac$ (= 1.644934…) である。 オイラー積によれば :$\backslash sum\_^\backslash infin\; \backslash frac\; =\; \backslash prod\_\; \backslash frac\; =\backslash frac\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \backslash cdots\; \backslash frac\; \backslash cdots$ となる。 == 収束することの証明 == :$\backslash begin$ \sum_^\infty \frac &=1+\frac +\frac +\frac +\cdots \\ &<1+\frac +\frac +\frac +\cdots \\ &=1+\sum_^\infty \frac \\ &=1+\sum_^\infty \left( \frac -\frac \right) \\ &=1+\left( \frac -\frac \right) +\left( \frac -\frac \right) +\left( \frac -\frac \right) +\cdots \\ &=2 \\ \end したがって であり、この級数は収束する。一般にゼータ関数 ''ζ''(''s'') は ''s'' > 1 の範囲で収束する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「バーゼル問題」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Basel problem 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.