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冪級数 (べききゅうすう、) は多項式に似た級数の一種である。具体的には可換環 ''R'' に対し、''R'' の無限列 (''a''''n'')''n''∈N と不定元 ''x'' から作られる形式的な級数 : を冪級数、あるいは ''R'' 上の形式（的）冪級数 () とよぶ。各 ''a''''n''''x''''n'' を冪級数の項と呼び、各 ''a''''n'' を係数と呼ぶ。係数列 (''a''''n'')''n''∈N に対して得られる冪級数はこの係数列の母関数とも呼ばれる。また、''c'' ∈ ''R'' に対して、 : の形に表される級数を ''c'' を中心 () とする冪級数などと呼ぶ。 == 概要 == 冪級数の取り扱いには大きく分けて二つある。四則演算などの代数的性質のみに着目する形式冪級数と、関数などの解析的性質に着目する収束冪級数である。 数列 (''a''''n'')''n''∈N が（実質的）有限列つまり、適当な自然数 ''m'' があって、''n''＞''m''なら必ず ''a''''n'' = 0 が成り立つような列であるとき、これを係数列とすることによって得られる形式冪級数 : は実質的に有限個の項からなり、多項式である。多項式に対してはその係数列の有限性から係数が 0 にならない添字の最大値 max として次数 deg(''f'') を考えることができたが、冪級数に対して同じことを考えるとほとんど全部の冪級数の次数は無限大であり、したがって、形式冪級数は形の上では多項式の次数を無限大に飛ばした類似物であると見ることができる一方で、形式冪級数に対して次数を考えてもほとんど何の役にも立たないということになる。形式冪級数に対して“多項式における次数”のような役回りを演じるのは、係数が 0 にならない添字の最小値 min である。多項式と形式冪級数との関係は有理数と実数（の無限小数展開）および ''p''-進数（の ''p''-進展開）との関係の類似であり、実際に冪級数を有限体上で考えれば、これら類似性は大域体とその局所化である局所体との関係として一般的に取り扱われる。 収束冪級数は形式冪級数にその収束域を考え合わせたもので、収束冪級数はその収束域上で関数を定める。特に複素解析において解析関数を取り扱う際に重要な役割を演じる。 数列の持つ性質を母関数によって調べる組合せ論的な手法では、得られる冪級数が収束することが、冪級数に操作を施して得られた数列の性質をすべて肯定することになるため、収束性の確認は重要である。にもかかわらず、数列にとっては母関数が“何らかの意味で”収束する点を（中心以外に）持ちさえすればよいので、母関数の収束性にそれほど注意が払われることもない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「冪級数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Power series 」があります。 スポンサード リンク
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