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数学におけるアスコリ＝アルツェラの定理（アスコリ＝アルツェラのていり、）は、有界な閉区間上で定義された実数値連続函数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つための必要十分条件を与える解析学の一結果である。その主要な条件は、函数の族の同程度連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理や、複素解析学におけるモンテルの定理、調和解析におけるを含む多くの数学的結果の証明の基盤となっている。 同程度連続性の概念は、 と によってほぼ同時期に導入された。この定理の弱い場合として、コンパクト性のための十分条件は によって証明された。またその必要条件も含めた結果の明示は によって初めて行われた。その後、定義域がコンパクト距離空間である実数値連続函数の集合への定理の一般化は によって行われた。近年におけるこの定理では、定義域はコンパクトなハウスドルフ空間、値域は任意の距離空間にまで拡張されている。より一般的な定理の構成として、から一様空間への函数の族が、コンパクト開位相においてコンパクトであるための必要十分条件を与えるものも存在する。 == 定理の内容と第一の結果 == ある区間 上の連続函数の列 が一様有界であるとは、ある数 ''M'' が存在して、 : がその列に含まれるすべての函数 とすべての に対して成立することをいう。その列が同程度連続であるとは、すべての に対してある が存在し、 であるなら : がその列のすべての函数 に対して常に成り立つことをいう。簡潔に述べると、ある列が同程度連続であるための必要十分条件は、その元が同一のを持つことをいう。アスコリ＝アルツェラの定理の最も簡潔な場合は、次のようなものである： :実数直線の有界閉区間 上で定義される実数値連続函数 を考える。この列が一様有界かつ同程度連続であるなら、一様収束するある部分列 (''fnk'') が存在する。 のすべての部分列がそれ自身一様収束部分列を持つなら、 は一様有界かつ同程度連続であるという意味で、この逆もまた真となる（この証明は後述を参照） 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アスコリ＝アルツェラの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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