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数学におけるアティヤ＝ボットの不動点定理（アティヤ＝ボットのふどうてんていり、）とは、1960年代にマイケル・アティヤとラウル・ボットによって証明された定理で、滑らかな多様体 ''M'' に対するレフシェッツの不動点定理の一般化として、''M'' 上の楕円型複体を扱うものである。これはベクトル束上の楕円型微分作用素の系で、元々のレフシェッツの不動点定理において現れる滑らかな微分形式から構成されるド・ラーム複体を一般化するものである。 == 内容 == 古典的な結果において、滑らかな写像 :''f'':''M'' → ''M'' の不動点の正確な貢献を数えるための整数であるレフシェッツ数に代わるものを見つけることがアイデアである。直感的に言うと、不動点とは、''M''×''M'' における ''f'' のグラフと対角線（恒等写像のグラフ）との交点であり、レフシェッツ数は交点数である。アティヤ＝ボットの定理は、左辺が大域的位相幾何学的（ホモロジー的）計算の結果で、右辺は ''f'' の不動点での局所的な貢献の和であるような方程式である。 ''M''×''M'' のを数えることで、''f'' のグラフと対角線に対するの仮定は、不動点の集合が必ず 0 次元であることを保証するものであることが分かる。すると ''M'' を閉多様体と仮定することにより、交点の集合が有限で、期待される方程式の右辺の和も有限となる。各 ''j'' に対し、ベクトル ''E''''j'' の楕円型複体、すなわち :φ''j'':''f''−1 ''E''''j'' → ''E''''j'' からので、断面上で導かれる写像がその楕円型複体の自己準同型 ''T'' であるようなものに関連して、さらなるデータが必要となる。そのような ''T'' は、レフシェッツ数 :''L''(''T'') を持つ。ここで定義より、このレフシェッツ数はその楕円型複体のホモロジーの各段階上のトレースの交項級数である。 以上の準備の下で、アティヤ＝ボットの不動点定理は、次の式で表される。 :''L''(''T'') = Σ (Σ (−1)''j'' trace φ''j'',''x'')/δ(''x''). ここでトレース φ''j'',''x'' は、''f'' の不動点 ''x'' における φ''j'', のトレースを意味し、δ(''x'') は自己準同型 I − ''Df'' の ''x'' での行列式である。但し ''Df'' は ''f'' の導函数（横断性により、これは消失しない）である。外側の和は不動点 ''x'' に関するもので、内側の和は楕円型複体の添字 ''j'' に関するものである。 アティヤ＝ボットの定理を、滑らかな微分形式のド・ラーム複体へ特殊化することで、元のレフシェッツの不動点定理が導かれる。アティヤ＝ボットの定理の有名な応用として、リー群の理論におけるに対する簡単な証明が挙げられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アティヤ＝ボットの不動点定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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