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数学において、アフィン・リー環()は、有限次元単純リー環から自然な方法で構成される無限次元のリー環である。アフィン・リー環はが半正定値で余階数が 1 のカッツ・ムーディ・リー環である。純粋数学的な視点からは、アフィン・リー環は面白い理由は、その表現論が、有限次元半単純リー環の表現論のように、一般のカッツ・ムーディ・リー環の表現論よりもはるかによく理解されているからである。ヴィクトル・カッツによって発見されたように、アフィン・リー環の表現に対するは、組合せ論的な恒等式であるを含んでいる。
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