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数学において、アペリーの定理 (Apéry's theorem) は、アペリーの定数 ζ(3) が無理数であるという、数論の結果である。つまり、数 : は ''p'' と ''q'' を整数として分数 ''p''/''q'' の形に書くことはできない。 リーマンのゼータ関数の偶数 ''2n'' (''n > 0'') における特殊値はベルヌーイ数を用いて表すことができ、したがって無理数であることが分かるのだが、奇数 2''n'' + 1 (''n > 0'') において一般に有理数であるのか無理数であるのかは、無理数であると予想されてはいるが、未解決のままである。 1978年にフランスの数学者ロジェ・アペリーが、周囲が全く予期しないうちに、この事実の証明を発表した。アペリーの証明は、一箇所手計算ではできないところが含まれているといわれており、またその方法が未だに他の ζ の奇数値に対して一般化できないこともあり、非常に謎めいたものとなっている。後にボイカーズのルジャンドル多項式を使った証明やネステレンコの証明などが発表されている。 アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは独立にこの方法を開拓した。 ==歴史== オイラーは ''n'' が正の整数であるときにある有理数 ''p''/''q'' に対して : であることを証明した。具体的には、左辺の無限級数を ζ(2''n'') と書いて、彼は : を示した。ここで ''Bn'' はベルヌーイ数であり、有理数である。''n'' が常に無理数であると証明されてからは、これは ζ(2''n'') がすべての正の整数 ''n'' に対して無理数であることを示している。 奇数に対するいわゆる、正の整数 ''n'' に対する値 ζ(2''n''+1) に対しては、 によるそのような表示は知られていない。これらの量の比 : はすべての整数 ''n'' ≥ 1 に対して超越数であることが予想されている。 このため、奇数に対するゼータ定数は、すべて超越数であると信じられているにもかかわらず、無理数であることの証明は見つかっていなかった。しかしながら、1978年6月、ロジェ・アペリ (Roger Apéry) は "Sur l'irrationalité de ζ(3)"（ζ(3)の無理性に関して）という題の講演を行った。講演において彼は ζ(3) と ζ(2) が無理数であることの証明の概略を話した。後者は を用いた表示に頼るのではなく前者のための手法を単純化したものを用いた。結果の全く予想外の性質とアペリの主題への無感動で非常に概略的なアプローチのために、聴衆の数学者の多くは証明には欠陥があると捨て去った。しかしながら、(Henri Cohen)、(Hendrik Lenstra)、(Alfred van der Poorten) はアペリは良い線を行っているかもしれないと思い、彼の証明の確認を始めた。2ヶ月の後に彼らはアペリの証明の確認を終わり、8月18日にコーエンは証明の全詳細を与える講演を行った。講演の後アペリ自身が演説をし彼のアイデアのもととなったものを説明した。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アペリーの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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