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数学におけるアルキメデスの性質（〜せいしつ、）とは、古代ギリシャの数学者シラクサのアルキメデスにちなんで名付けられた、実数の体系を典型的な例として一定の種類の群や体などいくつかの代数的構造が共通として持っている性質のことである。ふつう、アルキメデスの性質とは考えている体系の中に無限大や無限小が現れないこと、という意味で理解される。この概念は古代ギリシャにおける量の理論に端を発しているが、近現代の数学の教育や研究においてもヒルベルトの幾何の公理、順序群や順序体、局所体の理論などにおいて重要な役割を果たしている。 0でない元の任意の対について、それぞれ他方に対して無限小量ではないという意味で、「比較可能」な代数系はアルキメデス的であると呼ばれる。反対に二つの0でない元で片方がもう一方に対して無限小であるような代数系は非アルキメデス的であると呼ばれる。例えば、アルキメデス的な順序群はアルキメデス的順序群あるいはArchimedes的順序群、Archimedes順序群と呼ばれることになる。〔岩波数学事典 4th ed. 182 順序線形空間A〕 アルキメデスの性質は様々な文脈に応じて異なった方法で定式化される。たとえば順序体の文脈ではアルキメデスの公理と呼ばれる命題によってアルキメデス性が定義され、実数体はその意味でのアルキメデス性を持つ一方で、実係数の有理関数体は適当な順序構造によってはアルキメデス性を持たない順序体になる。 == 順序群における定義 == 順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である（あるいは、yがxに対して無限大である）とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。 : 順序群Gにおける0でない正の元の対x, yで、xがyに対して無限小になっているようなものは存在しないときGはアルキメデス的であると言われる。 順序構造を持つ単位的環の場合には、正の元xが乗法の単位元1に対して無限小であればxは無限小の元であると言われ、同様に元yが1に対して無限大であればyは無限大の元であると言われる。無限小の元も無限大の元も持たない順序環は順序群としてアルキメデス的になる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アルキメデスの性質」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Archimedean property 」があります。 スポンサード リンク
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