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数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin–Schreier theory) は、標数 ''p'' の体の ''p'' 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。 == アルティン・シュライアー拡大 == ''K'' を標数 ''p'' の体とし、''a'' をこの体のある元とする。多項式 の分解体への ''K'' の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。''b'' がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から までの ''i'' に対して がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。 * 根の 1 つが ''K'' に属していれば、すべての根は ''K'' に属しており、多項式は ''K'' 上既に分解している。 * そうでないとき、つまり根の 1 つが ''K'' に属していなければ、どの根も ''K'' に属していない、言い換えると ''a'' は に対して の形ではない。このとき多項式 は ''K'' 上既約である。その分解体（および） ''K'' は ''K'' の ''p'' 次巡回拡大であり、拡大のガロワ群の生成元（の 1 つ）は によって定義される写像によって与えられる。 実際 2 つ目の場合には、 の分解体は ''K'' 上 ''b'' で拡大され、多項式の ''p'' 個の根 は ''K'' に属しており相異なる。すると ''K'' のこの拡大は分離拡大であり従ってガロワ拡大である。ガロワ群が ''p'' 個の射からなり に対して によって定義されることを証明するには、多項式が既約であること、従って ''K'' がその根体であることを示せば十分である。 もし ''K'' の次数 の多項式が を割れば、それは ''K'' において単項式 の積であり、 の係数は、''K'' の元で、従って で の形で、''d'' は ''K'' において 0 でなく、これは ''b'' が ''K'' に属していないから不可能である。よって多項式は既約である〔, § VI.6 de l'édition Springer, § VIII.6 de l'édition Addison-Wesley.〕。 例えば、2 つの元を持った有限体は 4 つの元からなる有限体をアルティン・シュライアー拡大として持ち、これは多項式 = によって拡大されたものである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アルティン・シュライアー理論」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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