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数学におけるアレクサンダー多項式（あれきさんだーたこうしき、; アレクサンダー多項式）は、各種結び目に整数係数多項式を割り当てる結び目不変量である。アレクサンダー多項式は最初に発見されたで、1923年にが発見した。1969年にジョン・コンウェイは、この多項式（の、今日ではアレクサンダー・コンウェイ多項式と呼ばれている形）が、スケイン関係式を用いて計算できることを示した。1984年にジョーンズ多項式が発見されて初めて、アレクサンダー多項式の幾何学的な意味が明らかになった。また、コンウェイは、すぐにアレクサンダー多項式を再研究し、アレクサンダー自身の論文の中で、すでに同様の スケイン関係式 が示されていることを明らかにしている〔アレクサンダーは、論文の最後のほうで "miscellaneous theorems"（「雑多な定理集」）と題した見出しのもとにスケイン関係式を記述しており、そのせいでその記述の存在が見逃されたのであろう。ジョアン・バーマンは論文 において "Mark Kidwell brought her attention to Alexander's relation in 1970."（「マークキッドウェルが私に1970年のアレクサンダーの関係式への注意を与えた」）と述べている。〕。 == 定義 == 3次元球面における結び目を K とし、X を K の結び目補空間の無限とする。この被覆 X は、K の結び目補空間を K のザイフェルト曲面に沿って切って得られる境界付き多様体の可算無限個のコピーを、巡回的に貼合せることで得られる。X に作用する被覆変換 t が存在するが、X の（整数係数の）一次元ホモロジー群 H1(X) を考えれば、被覆変換 t の作用を H1(X) 上へ移すことができるので、H1(X) をローラン多項式環 Zt−1 上の加群とみなすことができる。このような加群と見た H1(X) をアレクサンダー不変量または（一次の）アレクサンダー加群と呼ぶ。 アレクサンダー加群は有限表示可能であり、アレクサンダー加群に関する行列表示をアレクサンダー行列と呼ぶ。表示の生成元の数 r が表示の基本関係式の数 s 以下のときは、アレクサンダー行列の r × r 小行列式全体の生成するイデアル（これを、零次フィッティングイデアルまたはアレククサンダーイデアルという）を考える。また r > s のときはアレクサンダーイデアルは零イデアルであるものとする。アレクサンダーイデアルが主イデアルであれば、ただ一つの生成元が取れて、各元がその生成元の多項式として書ける（これを結び目のアレクサンダー多項式と呼ぶ）。この時の生成元はローラン単項式 ±tn を掛ける違いを除いて一意であるから、特定の形を決めて一通りに表せるようにすることも多い。特にアレクサンダーは多項式の定数項が正の値になるようにアレクサンダー多項式の正規形を定めた。 アレクサンダーはアレクサンダーイデアルが零イデアルでないことおよび常に主イデアルとなることを示した。故に結び目 K のアレクサンダー多項式 ΔK(t) は常に存在し、かつ明らかに結び目不変量となる。しかし、1本の紐からなる結び目のときアレクサンダー多項式 ΔK(t) は、t2 の多項式となり、鏡像に対しも同じ多項式となる。つまり、アレクサンダー多項式は、鏡像関係にある 2つの結び目を識別できない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アレクサンダー多項式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Alexander polynomial 」があります。 スポンサード リンク
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