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イェンゼンの不等式(いぇんぜんのふとうしき、)は、凸関数を使った不等式である。 ''f''(''x'') を実数上の凸関数とする。 離散の場合: を、 を満たす正の実数の列とする。また、 を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。 : 連続値の場合: を、 を満たす実数上の可積分関数とする。また、 を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。 : ルベーグ積分論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。 証明は、''f'' のにおける接線を ''g'' とおいて、常に ''g''(''x'') が ''f''(''x'') よりも小さいことを使えばよい。 統計学において、式の下限を評価するさいに、一定の役割を担っている。例えば、カルバックライブラーダイバージェンスが常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。''p''(''x'') が確率密度関数の場合を考えると、イェンゼンの不等式は次のように書ける。 : なお、イェンゼンの不等式から、相加相乗平均の不等式などを導くこともできる。 ==参考文献== * Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71. 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)』 ■ウィキペディアで「イェンゼンの不等式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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