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オイラー＝ラグランジュ方程式（オイラー＝ラグランジュほうていしき、）は汎関数の停留値を与える関数を求める微分方程式である。 オイラーとラグランジュらの仕事により1750年代に発展した。 単に、オイラー方程式、ラグランジュ方程式とも呼ばれる。 ニュートン力学における運動方程式をより数学的に洗練された方法で定式化しなおしたもので、物理学上重要な微分方程式である。 オイラー＝ラグランジュ方程式を基礎方程式としたニュートン力学の定式化をラグランジュ形式の解析力学と呼ぶ。 == 概要 == オイラー＝ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである最小作用の原理から導かれる。 これは以下のような原理である： 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの ''差''（エネルギー保存則の場合は両者の''和''）をラグランジアンと呼び、 ラグランジアンの時間積分を作用と呼ぶとき、 物理現象は作用を最小化（厳密には極小化）するように動作する。 オイラー＝ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡を変分法で求める事によって導出された方程式である。 最小作用の原理はもともとはニュートン力学（さらにさかのぼれば光学におけるフェルマーの原理）で発見されたものだが、 電磁気学、相対性理論等でも成り立つ物理学の根本的な原理である。 したがってそれらの分野においてもオイラー＝ラグランジュに相当する方程式を立式でき、 その方程式はこれらの分野の基礎方程式（ニュートンの運動方程式、マクスウェルの方程式、アインシュタイン方程式） と等価になる。（ただしこれらの方程式におけるラグランジアンは前述の「（運動エネルギー）－（ポテンシャル）」とは限らない）。 このように最小作用の原理からオイラー＝ラグランジュ相等の式を得るという方針は、様々な基礎方程式に統一的な視点を与える事ができる。 ニュートン力学の場合ラグランジアンをルジャンドル変換する事でハミルトニアン（＝エネルギーに対応する物理量）を得る事ができ、 オイラー＝ラグランジュ方程式をハミルトニアンを使って書き直す事でハミルトンの正準方程式が得られる。 これもニュートン力学における基本的な方程式の１つである。 オイラー＝ラグランジュ方程式や正準方程式で記述したニュートン力学を解析力学という。 なお、ニュートン力学以外の分野の場合、ラグランジアンからハミルトニアン（あるいはその逆）に容易に変換可能であるとは限らない。 また新たな物理学の分野を探求する際、ラグランジアンやハミルトニアンを定義できれば、 そこからオイラー＝ラグランジュ方程式や正準方程式相等の方程式を定式化できる為、 この方程式は未知の領域において基礎方程式を導出する為の強力な道具となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「オイラー＝ラグランジュ方程式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Euler-Lagrange equation 」があります。 スポンサード リンク
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