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ブラケット多項式（ブラケットたこうしき、Bracket polynomial）とは、位相幾何学の一分野である結び目理論において、結び目または絡み目の射影図に対して定義される、負冪を許す1変数多項式である。ブラケット多項式自体は絡み目不変量ではないが、その径間〔多項式の最高次数と最低次数の差のことを多項式の径間（span）という。〕は絡み目不変量となり、またブラケット多項式を利用して不変量であるジョーンズ多項式を定義することもできる。ブラケット多項式はカウフマン括弧式といわれることもあるが、カウフマン多項式とは異なる。 ==定義== 絡み目の射影図 ''L'' に対するブラケット多項式を <''L''> で表すこととする。 ブラケット多項式は、以下の3つのルールにより帰納的に定義される（多項式の変数は ''A''とする）。 *ルール1 : :ここで○とは、自明な結び目の自明な射影図（右図のように交点が1つも無い射影図）のことを指す。 *ルール2 : :この式において、絡み目の射影図のうち円周外の部分は全て一致しており、円周内の部分のみが上図のように異なっているものとする。 *ルール3 : :ここで左辺は射影図 ''L'' と自明な結び目の自明な射影図の分離和である。 以上の3つのルールによっていかなる絡み目の射影図でもブラケット多項式を計算することができる。 まず、ルール1とルール3を使えば、''k''成分の自明な絡み目の自明な射影図（交点が1つも無い射影図）のブラケット多項式は : となることが成分数 ''k'' に関する数学的帰納法によって示せる。 続いて ''n'' 個の交点を持つ射影図のブラケット多項式は、ルール2を使えば ''n-1'' 個の交点の射影図のブラケット多項式から計算できる。これを何度も繰り返せば、交点が1つも無い射影図のブラケット多項式から目的の多項式が計算できることになるが、交点が1つも無い射影図（自明な絡み目の自明な射影図）のブラケット多項式は計算できることをすでに確認したから、任意の射影図のブラケット多項式が計算できることが分かる。 ルール2を適用して交点を1つ減らすたびに、計算しなければならない多項式の数は2倍になるので、''n'' 個の交点を持つ射影図のブラケット多項式を算出するためには、2''n'' 個の自明な射影図に対して多項式を計算しなければならないことになる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ブラケット多項式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Bracket polynomial 」があります。 スポンサード リンク
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