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表現論において、コクセター群''W''に付随するカジュダン・ルスティック多項式（-多項式 英：Kazhdan-Lusztig polynomial）とは、''W''の元''y'',''w''でパラメトライズされたある整数係数多項式の族のことである。この多項式は、1979年にデイビッド・カジュダンとジョージ・ルスティックによって、''W''に付随するヘッケ環のある基底を用いて導入された。特に''W''としては半単純リー群''G''に付随するワイル群が代表的である。この場合、カジュダン・ルスティック多項式は、''G''の旗多様体上の交叉コホモロジーを用いた幾何学的記述を持ち、''G''のリー環 の表現論を記述するために重要な役割を果たしている（カジュダン・ルスティック予想）。この多項式やその類似物は、その後の幾何学的表現論の発展における契機となったのみならず、現在でも表現論における中心的な研究対象のひとつである。 ==動機と歴史== 1978年春、カジュダンとルスティックは、代数群''G''の冪単共役類の研究と関連して、''G''に付随するワイル群''W''の表現を進コホモロジー群上に実現するシュプリンガー表現を研究していた。彼らはこの表現の複素数体上での新しい実現を与えた。この表現には2つの自然な基底が存在し、その変換行列が本質的にはカジュダン・ルスティック多項式で与えられることになるが、彼らが実際にカジュダン・ルスティック多項式を構成した方法はもっと初等的な方法であった。それはコクセター群に付随するヘッケ環とその表現に対するある標準的な基底を構成することであった。 カジュダン・ルスティックは最初の論文で、これらの多項式はシューベルト多様体における局所ポアンカレ双対性の破れと関係していることを指摘し、1980年の論文でこの観点をマーク・ゴレスキーとロバート・マクファーソンによる交叉コホモロジーの概念を用いて説明した。さらに交叉コホモロジー群の次元を用いてこれらの基底の別の定義を与えた。 半単純リー環のある無限次元表現の圏に対するグロタンディック群には、ヴァーマ加群と既約加群から得られる2つの基底が存在する。カジュダン・ルスティックの得たシュプリンガー表現の2つの基底は、この類似であるように思われた。この類似性と、ワイル群の表現とリー環の展開環の原始イデアルとを結びつけるヤンツェンとヨゼフの仕事をもとに、彼らはカジュダン・ルスティック予想を定式化し、半単純リー環の表現論とカジュダン・ルスティック多項式を結びつけた。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「カジュダン–ルスティック多項式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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