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有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。 == 構成例 == 位数最小の有限体は集合としては F2 = Z/2Z = で、演算は次で定める。 これは2を法とした余りで加法と乗法を定めていると言ってもよい。 同様の構成は一般の素数 ''p'' に対しても成り立つ。 整数環 Z の ''p'' の倍数全体 ''p''Z は素イデアルで、整数環がPIDなので、特に極大イデアル。 したがって剰余環 F''p'' = Z/''p''Z は ''p'' 個の元からなる体である。 素数位数とは限らない有限体も存在する。 F2 係数一変数多項式環 F2 を考える。その既約多項式 ''f''(''x'') = ''x''2 + ''x'' + 1 の生成する素イデアル (''f(x)'') は、 F2 がPIDなので、特に極大イデアル。 したがって剰余環 F4 = F2/(''f''(''x'')) は 4 個の元からなる体である。 変数 ''x'' の自然な全射による像を ω とおくと、 F4 = と表せ、その演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定まる。 同様の構成は一般の素数 ''p'' に対して成り立ち、任意の拡大次数 ''d'' をもつ拡大体が構成できる。 そのとき次数 ''d'' の既約多項式としてはを取ればよい。 したがって剰余環 F''p'' = Z/''p''Z は ''p'' 個の元からなる体である。 素数位数とは限らない有限体も存在する。 F2 係数一変数多項式環 F2 を考える。その既約多項式 ''f''(''x'') = ''x''2 + ''x'' + 1 の生成する素イデアル (''f(x)'') は、 F2 がPIDなので、特に極大イデアル。 したがって剰余環 F4 = F2/(''f''(''x'')) は 4 個の元からなる体である。 変数 ''x'' の自然な全射による像を ω とおくと、 F4 = と表せ、その演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定まる。 同様の構成は一般の素数 ''p'' に対して成り立ち、任意の拡大次数 ''d'' をもつ拡大体が構成できる。 そのとき次数 ''d'' の既約多項式としてはを取ればよい。 F4 = と表せ、その演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定まる。 同様の構成は一般の素数 ''p'' に対して成り立ち、任意の拡大次数 ''d'' をもつ拡大体が構成できる。 そのとき次数 ''d'' の既約多項式としてはを取ればよい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「有限体」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Finite field 」があります。 スポンサード リンク
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