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数学において、クリフォード代数 (Clifford algebra) は結合多元環の一種である。''K''-代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の系を一般化する〔W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395〕〔W. K. Clifford, ''Mathematical Papers'', (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.〕。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と親密に関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。それらはイギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォード (William Kingdon Clifford) にちなんで名づけられている。 最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (orthogonal Clifford algebra) は、''リーマンクリフォード代数'' (Riemannian Clifford algebra) とも呼ばれる〔see for ex. Z. Oziewicz, Sz. Sitarczyk: ''Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras''. In: Artibano Micali, Roger Boudet, Jacques Helmstetter (eds.): ''Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics'', Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1623-1, 1992, p. 83 〕。 ==導入と基本的性質== クリフォード代数は二次形式 ''Q'' を伴った体 ''K'' 上のベクトル空間 ''V'' を含みそれによって生成される結合多元環である。クリフォード代数 ''C''ℓ(''V'', ''Q'') は次の条件を満たす ''V'' によって生成される「最も自由な」代数である〔実クリフォード代数を扱い正定値二次形式を好む数学者（特にの研究者）は基本的なクリフォード恒等式 (the fundamental Clifford identity) においてを用いることがある。つまり、彼らは を取る。一方の慣習から他方へと行くには ''Q'' を −''Q'' で置き換えなければならない。〕： : ただし左辺の積はは代数の積であり、1 は乗法単位元である。 クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) ''K''-代数よりも多くの構造をそれに与える： 特にそれは ''V'' に同型な designated あるいは privileged 部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な ''K''-代数のみが与えられても一般には一意的には決定できない。 基礎体 ''K'' の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる： : ただし : はによって ''Q'' と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般的な」 (most general) 代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。 標数 2 において二次形式とクリフォード代数は例外的なケースをなす。特に、 であれば、二次形式は対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式は直交基底を持つことは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「クリフォード代数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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