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数学、特にシンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、グロモフ・ウィッテン(GW)不変量(Gromov–Witten (GW) invariant)は、ある状況下では、与えられたシンプレクティック多様体の中で決められた条件にあう(pseudoholomorphic curve)を数える有理数である。GW不変量は、ホモロジーやコホモロジー類として適切な空間の中に実現され、あるいは量子コホモロジーの変形されたとして実現される。これらの不変量は、以前は識別できなかったシンプレクティック多様体を識別することに使われる。GW不変量はまた、閉じたタイプ IIA弦理論で重要な役目を果たす。GW不変量は、ミハイル・グロモフ(Mikhail Leonidovich Gromov)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)の名前にちなんでいる。 数学的に厳密なグロモフ・ウィッテン不変量の定義は、長く難しいので、安定写像という記事と分けて扱う．本記事では、何が不変を意味するか、どのようにして計算するか、なぜグロモフ・ウィッテン不変量が重要なのかのより直感的な説明を試みる。 == 定義 == 以下にグロモフ・ウィッテン不変量を定義する。 * X : 次元 2k の閉じたシンプレクティック多様体 * A : X の 2-次元ホモロジー類 * g : 非負な整数 * n : 非負な整数 4つ組 (X, A, g, n) に付随するグロモフ・ウィッテン不変量を定義する。 を、X 上のシンプレクティック形式と整合性(compatible)〔安定写像#脚注を参照のこと。〕を持つ概複素構造 J を選んでおき、n 個のマークされた点を持ち、種数 g の(Deligne–Mumford moduli space of curves)とし、 でクラス A の X への安定写像のモジュライ空間を表すとすると、 の元は次の形をしている。 :::, ここに、C は n 個のマークされた点 ''x''1, ..., ''x''''n'' を持つ（安定である必要はない）曲線であり、f : C → X は擬正則写像である。モジュライ空間の次元は、 ::: である。 ::: を安定化された曲線を表すとしよう。 ::: とすると、Y は実次元 6''g'' - 6 + 2''kn'' となっている。すると次の評価写像(evaluation map)が存在する。 ::: 評価写像は、M の基本類を次によって表される Y の d-次元有理ホモロジークラスへ写像する。 ::: ある意味で、このホモロジー類はデータ g と n と A に対する X のグロモフ・ウィッテン不変量である。これはシンプレクティック多様体 X のシンプレクティック同相の不変量である。 グロモフ・ウィッテン不変量を幾何学的に理解するためには、β を の中のホモロジー類とし、α1, ..., αn を X の中のホモロジー類として、 β, α1, ..., αn の余次元の和が、d に等しくなるようにする。これらは(Künneth formula)により、Y のホモロジー類を引き起こす。 : となるとする。ここに は、Y の有理ホモロジーの交叉積を表す。この値は有理数であり、与えられたクラスに対しグロモフ・ウィッテン不変量である。この数は、擬正則曲線の「仮想的」数を与える（クラス A の中の種数 g でドリーニュ・マンフォード空間の β-部分の領域を持っている） n 個のマークされた点は α''i'' を表しているサイクルへ写像される。 簡単に言うと、GW不変量はどのくらい多くの曲線が X の n 個の選ばれた部分多様体と交叉するのかの数を数える。しかしながら、数の「仮想的」性質のために、数自体が期待されるような自然数である必要なない。安定写像の空間はであり、イソトロピーの点は不変量に対して非整数の値で寄与する。 この構成には膨大な変形があり、ホモロジーに代わりコホモロジーが使われたり、積分が交叉となったり、ドリーニュ・マンフォードの空間からのプルバックされたチャーン類はや、また、積分であったりする。 ==計算のテクニック== 一般に、グロモフ・ウィッテン不変量は計算することが難しい。グロモフ・ウィッテン不変量は、任意の一般的な概複素構造 J に対して定義されると、 作用素の線形化 D は全射である。それらは、特別に選択された J について計算されねばならない。最も便利な方法は、非生成的な可積分性を持つといった、特別な性質を持った J を選択することである。実際、計算はしばしば代数幾何学のテクニックを使いケーラー多様体の上で実行される。 しかし、特別な J は全射ではない D と、従って期待するよりも大きな擬正則曲線のモジュライ空間を引き起こすかもしれない。大まかには、障害バンドルと呼ばれる D の余核から形成することで、この効果を補正し、従って、障害バンドルのオイラー類の積分としてGW不変量を再現できる。このアイデアをさらに詳しく知るには、倉西構造を使い重要なテクニカルな議論をする必要がある。 主要な計算上のテクニックは局所化である。これは X がトーリック多様体のときに適用され、このことは X が複素トーラス上が上に作用しているか、あるいは最低局所トーリックを意味する。すると、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とラウル・ボット(Raoul Bott)のを使い、還元、もしくは局所化し、GW不変量の計算を作用の固定点軌跡上の積分として計算する。 もうひとつのアプローチは、より容易に計算することができるGW不変量を持つ、ひとつ以上の他の空間へ X を関連付けることによりシンプレクティック手術を施すことである。もちろん、まず、手術の下で不変量がどのように振る舞うかを理解せねばならない。そのような応用のため、しばしばより精巧な相対GW不変量が使われ、相対GW不変量は実余次元 2 の X のシンプレクティック部分多様体に沿った特定の接触条件を持つ曲線の数を数える。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「グロモフ・ウィッテン不変量」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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