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数学においてコクセター群（コクセターぐん、）とは鏡映変換で表示できる抽象群のことである。ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターに因んで名づけられた。有限コクセター群は何らかのユークリッド鏡映群（たとえば一般次元正多胞体の対称変換群など）になっている。もちろん、すべてのコクセター群が有限群とは限らないし、すべてのコクセター群をユークリッド的な鏡映や対称変換として記述できるわけでもない。コクセター群は鏡映群の抽象化として導入され、有限コクセター群の分類は完了している 。 コクセター群は数学のいくつもの分野に現れる。一般次元正多胞体の対称変換群や単純リー代数のワイル群は有限コクセター群の例であり、ユークリッド平面や双曲平面の正則三角形分割 (regular tessellation) に対応する三角群や無限次元カッツ-ムーディ代数のワイル群は無限コクセター群の例である。 コクセター群に関する標準的な文献としては や などがある。 == 定義 == 生成系 ''S'' をもつ群 ''W'' がコクセター群である、または組 (''W'', ''S'') がコクセター系 (''Coxeter system'') であるとは、以下の3条件がすべて満たされるときにいう。 # ''S'' は対合からなる： ''s'' ∈ ''S'' ならば、必ず ''s''2 = 1 が成り立つ。 # 組み紐関係式 (''braid relation'')： ''s'', ''t'' ∈ ''S'' が ''s'' ≠ ''t'' であるならば、2 以上のある整数（または ∞）''m''''s'',''t'' で (''st'')''m''''s'',''t'' = 1 となるものが取れる。 # それ以外に生成元の間には関係がない。 ただし、''m''''s'',''t'' = ∞ は ''s'' と ''t'' の間に関係がないことを表す。これは次のように書く事もできる。 # ''s'' ∈ ''S'' ならば ''s''-1 = ''s'' が成り立つ。 # ''s'', ''t'' ∈ ''S'' で ''s'' と ''t'' が相異なるとき、''s'' と ''t'' には関係が無いか、関係がある場合には次が成り立つ; ''s'' と ''t'' を交互に ''m''''s'',''t'' 個並べる方法が 2 通りあるが、そのいずれも同じ元を定めるような 2 以上の整数 ''m''''s'',''t'' が存在する。 #: ''stststst''… = ''tstststs''… （両辺とも因数の数は ''m''''s'',''t'' 個） # 生成元はそれ以外に関係式を持たない。 また、''S'' = とすれば以下のように表示できる: : ただし、''i'', ''j'', ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' かつ ''m''''i'',''j'' (''i'' ≠ ''j'') は 2 以上の整数か ∞ である。 (''W'', ''S'') がコクセター系であるとき、生成系 ''S'' に属する元の個数 |''S''| をコクセター群 ''W'' の階数 (''rank'') といい、rank ''W'' と表す。また生成元の部分集合 ''J'' ⊆ ''S'' で生成されるコクセター群 ''W'' の部分群 ''WJ'' もコクセター群になる。このような部分群 ''WJ'' を放物型部分群という。 ''G'' が ''S'' を生成系とするコクセター群であるとき、(''st'')''m''''s'',''t'' = 1 となる''m''''s'',''t'' (''s'', ''t'' ∈ ''S'') を成分とする |''S''| 次の対称行列 : をコクセター行列 (''Coxeter matrix'') （あるいは行列要素 ''m''''s'',''t'' を 2 変数の関数と見て、コクセターデータ）という。ただし、''s'' ∈ ''S'' に対して ''m''''s'',''s'' = 1 である。コクセター行列が与えられたとき、コクセター図形 (''Coxeter graph'', ''Coxeter diagram'') と呼ばれる図形が # 各生成元 ''s'' ∈ ''S'' に対応して、|''S''| 個の頂点を打つ。 # ''m''''s'',''t'' = 2 ならば何もしない。 # ''m''''s'',''t'' ≥ 3 ならば ''s'', ''t'' に対応する頂点を辺で結び、辺に ''m''''s'',''t'' の値を記す。 という手順で定まる。逆に、コクセター図形が 1 つ与えられれば、コクセター行列を復元することができ、したがってコクセター群が一つ定められる。すなわち、コクセター群を与えること、コクセター行列を与えること、コクセター図形を与えることの三者は等価である。 コクセター図形が 2 つ以上の連結成分に分かれるとき、対応するコクセター群は各連結成分に対応するコクセター群たちの直積に分解される。連結なコクセター図形あるいはそれに対応するコクセター群は既約であるという。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「コクセター群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Coxeter group 」があります。 スポンサード リンク
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