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数学におけるコーシー＝シュワルツの不等式（コーシーシュワルツのふとうしき、）、シュワルツの不等式、シュヴァルツの不等式あるいはコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式 とは、内積空間における二つのベクトルの間の内積がとりうる値をそれぞれのベクトルのノルムによって評価する不等式である。線型代数学や関数解析学における有限次元および無限次元のベクトルに対するさまざまな内積や、確率論における分散や共分散に適用されるなど、様々な異なる状況で現れる有用な不等式である。 数列に対する不等式はオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって1821年に、積分系での不等式はまずヴィクトール・ブニャコフスキーによって1859年に発見された後ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツによって1888年に再発見された。 == 定理の内容といくつかの事実 == ''x'' や ''y'' が実または複素内積空間 (''X'', ⟨•, •⟩) の元であるとき、 シュワルツの不等式は次のように述べられる： : 左辺は内積 ⟨''x'', ''y''⟩ の絶対値の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が線型従属であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム ||''x''||2 := ⟨''x'', ''x''⟩ を用いればこれは : とも表せる。 コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て連続であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 ⟨''x'', •⟩ あるいは ⟨•, ''x''⟩ を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x'' *: ''y'' → ⟨''y'', ''x''⟩ を与える対応が等長作用素になっていることも従う。 また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式 : が導かれる。ここで等号が成立するのは、''x'' と ''y'' の一方が他方の非負実数倍であるとき、かつそのときに限る。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「コーシー＝シュワルツの不等式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Cauchy-Schwarz inequality 」があります。 スポンサード リンク
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