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解析学におけるシュワルツ超函数（シュワルツちょうかんすう、; 分布）あるいは超函数（; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。 広義の函数としての超函数 は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。 超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。 == 基本的な考え方 == 基本的な考え方は、函数を適当な「テスト函数」（扱いやすくよい振舞いをする函数）の空間上の抽象線型汎函数と同一視することである。超函数に対する作用・演算は、それをテスト函数へ移行することによって理解することができる。 例えば、''f'': R → R を局所可積分函数、φ: R → R をコンパクトな台を持つ（すなわちある有界集合の外側で恒等的に 0 となる）滑らかな函数（つまり無限回微分可能な函数）とする。函数 φ が「テスト函数」である。このとき、 : は φ に関して線型かつ連続に変化する実数である。それゆえに、函数 ''f'' を「テスト函数」全体の成すベクトル空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。 同様に ''P'' が実数全体で定義される確率分布で φ がテスト函数であるとき、 : は φ に連続かつ線型に依存する実数であるから、確率分布もまたテスト函数の空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。そしてこの「テスト函数の空間上の連続線型汎函数」という概念がシュワルツ超函数の定義として用いられる。 このような超函数に実数を掛けたり、超函数同士を加えたりすることができるから、シュワルツ超函数の全体は実ベクトル空間を形成する。超函数同士の乗法は一般には定義することができないが、超函数に無限回微分可能函数を掛けることはできる。 超函数の微分を定義するため、まずは可微分かつ可積分な函数 ''f'': R → R の場合を考えよう。φ をテスト函数として : が部分積分によって得られる（φ が有界集合の外側で 0 になるから、境界値は考慮する必要がないことに注意）。この式は ''S'' がシュワルツ超函数のとき、その微分 ''S''′ を : で定義すべきであることを示唆している。じつはこれは正式な定義である。これにより微分の古典的な定義は拡張され、任意のシュワルツ超函数は無限回微分可能となり、微分の通常の性質も保たれる。 例: ディラックデルタ（あるいはディラックのデルタ函数）は : で定義される超函数である。これはまた、ヘヴィサイドの階段函数の超函数の意味での微分である。実際、任意のテスト函数 φ に対して : すなわち、 δ = ''H''′ が成り立つ。ここで lim''x''→∞ φ(''x'') = 0 なのは台がコンパクトだからである。同様に、ディラックデルタの超函数の意味での微分は : なる超函数である。後者の超函数は函数でも確率分布でも無い超函数の最初の例である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「シュワルツ超函数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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