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数学の特に環論において、体 上の中心的単純多元環（ちゅうしんてきたんじゅんかん、）とは、与えられた 上の階数（ベクトル空間としての次元）が有限な結合多元環 であって、環として単純で、その中心がちょうど ''K'' となっているようなものをいう。明らかに、任意の単純多元環は、その中心上の中心的単純環である。 例えば、複素数体 はそれ自身の上の中心的単純環だが、（ の中心は であって ではないから）実数体 上の中心的単純環ではない。四元数体 は 上 4-次元の中心的単純環をなし、後述するように のブラウアー群 の非自明な元によって表される。 同じ体 上の二つの中心的単純環 と とが互いに相似（あるいはブラウアー同値）であるとは、それらに属する斜体 と とが同型となることをいう。与えられた体 上の中心的単純環の、この同値関係に関する同値類は多元環類と呼ばれ，これらが成す集合には、多元環のテンソル積によって群演算を与えることができる。このようにして得られた群は、体 のブラウアー群 と呼ばれる。ブラウアー群は常にである。 == 性質 == * アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、単純環 は適当な斜体 上の何らかのサイズ の全行列環 に同型である。従って、各ブラウアー同値類にはただ一つの多元体が属する。 * 中心的単純環の自己同型は必ず内部自己同型となる（からの帰結）。 * 中心的単純環の（中心上のベクトル空間としての）次元は常に平方数であり、その正の平方根を中心的単純環の次数 (''degree'') と呼ぶ。中心的単純環のシューア指数 (''Schur index'') あるいは単に指数とは、それとブラウアー同値な多元体の次数を言う。これは中心的単純環の属するブラウアー類のみで決まる。 * 中心的単純環の周期とは、それが属するブラウアー類のブラウアー群における位数を言う。周期はシューア指数の約数であり、また両者は同じ素因数からなる合成数である。 * が体 上の中心的単純環 の単純部分多元環ならば、 は を整除する。 * 体 上の -次元中心的単純環は一般四元数環に必ず同型である。実は、そのような環は二次の全行列環 か、さもなくば多元体であるかのいずれかである。 * が体 上の中心的多元体で、そのシューア指数 が素因数分解 を持つとするとき、 はテンソル積分解 を持つ。ただし、各成分 は指数 なる中心的多元体であり、これら成分は同型を除いて一意に決まる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「中心的単純環」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Central simple algebra 」があります。 スポンサード リンク
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