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数学、とくににおいて、シローの定理 (Sylow theorems) は、ノルウェーの数学者ルートヴィヒ・シロー (Ludwig Sylow) () にちなんで名づけられている定理の集まりであり、与えられた有限群がもつ固定された位数の部分群の個数についての詳細な情報を与える。シローの定理は有限群論の基本的な部分をなし、における非常に重要な応用を持つ。 素数 ''p'' に対し、群 ''G'' のシロー ''p''-部分群（あるいは ''p''-シロー部分群）とは、''G'' の極大 ''p''-部分群である、つまり、''p''-群である（任意の元の位数が ''p'' の冪である）であるような ''G'' の部分群であって、''G'' の他のどんな ''p''-部分群の真部分群でないようなものである。与えられた素数 ''p'' に対するすべてのシロー ''p'' 部分群の集合を Syl''p''(''G'') と書くことがある。 シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は任意の有限群 ''G'' に対して ''G'' のすべての部分群の位数（元の個数）は ''G'' の位数を割り切るというものであり、シローの定理は有限群 ''G'' の位数の任意の素因数 ''p'' に対して ''G'' のシロー ''p'' 部分群が存在するというものである。有限群 ''G'' のシロー ''p'' 部分群の位数は、''n'' を ''G'' の位数における ''p'' のとして、''pn'' であり、また位数 ''pn'' の任意の部分群は ''G'' のシロー ''p'' 部分群である。（与えられた素数 ''p'' に対して）群のシロー ''p''-部分群は互いに共役である。与えられた素数 ''p'' に対して群のシロー ''p''-部分群の個数は mod ''p'' で 1 と合同である。 シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は任意の有限群 ''G'' に対して ''G'' のすべての部分群の位数（元の個数）は ''G'' の位数を割り切るというものであり、シローの定理は有限群 ''G'' の位数の任意の素因数 ''p'' に対して ''G'' のシロー ''p'' 部分群が存在するというものである。有限群 ''G'' のシロー ''p'' 部分群の位数は、''n'' を ''G'' の位数における ''p'' のとして、''pn'' であり、また位数 ''pn'' の任意の部分群は ''G'' のシロー ''p'' 部分群である。（与えられた素数 ''p'' に対して）群のシロー ''p''-部分群は互いに共役である。与えられた素数 ''p'' に対して群のシロー ''p''-部分群の個数は mod ''p'' で 1 と合同である。 'p''-シロー部分群）とは、''G'' の極大 ''p''-部分群である、つまり、''p''-群である（任意の元の位数が ''p'' の冪である）であるような ''G'' の部分群であって、''G'' の他のどんな ''p''-部分群の真部分群でないようなものである。与えられた素数 ''p'' に対するすべてのシロー ''p'' 部分群の集合を Syl''p''(''G'') と書くことがある。 シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は任意の有限群 ''G'' に対して ''G'' のすべての部分群の位数（元の個数）は ''G'' の位数を割り切るというものであり、シローの定理は有限群 ''G'' の位数の任意の素因数 ''p'' に対して ''G'' のシロー ''p'' 部分群が存在するというものである。有限群 ''G'' のシロー ''p'' 部分群の位数は、''n'' を ''G'' の位数における ''p'' のとして、''pn'' であり、また位数 ''pn'' の任意の部分群は ''G'' のシロー ''p'' 部分群である。（与えられた素数 ''p'' に対して）群のシロー ''p''-部分群は互いに共役である。与えられた素数 ''p'' に対して群のシロー ''p''-部分群の個数は mod ''p'' で 1 と合同である。 == シローの定理 == それぞれなんらかの意味で極大な部分群の集まりというのは群論においてよくある。ここで驚くべき結果は、Syl''p''(''G'') の場合には、すべての元が実は互いに同型で、可能な最大の位数を持っているということである： |''G''| = ''pnm'', ''n'' > 0 で、''p'' が ''m'' を割り切らなければ、任意のシロー ''p''-部分群 ''P'' の位数は |''P''| = ''pn'' である。つまり、''P'' は ''p''-群であり gcd(|''G'' : ''P''|, ''p'') = 1 である。これらの性質は ''G'' の構造をさらに分析するために利用することができる。 以下の定理は最初ルードヴィヒ・シローによって1872年に提出及び証明され、''Mathematische Annalen'' に出版された。 定理１： 有限群 ''G'' の位数の任意の素因数 ''p''（重複度 ''n''）に対し、位数 ''pn'' の ''G'' のシロー ''p'' 部分群が存在する。 定理１の次の弱いバージョンは最初コーシーによって証明され、として知られている。 系： 有限群 ''G'' と ''G'' の位数を割り切る素数 ''p'' が与えられると、''G'' には位数 ''p'' の元（したがって位数 ''p'' の部分群）が存在する〔Fraleigh, Victor J. Katz. A First Course In Abstract Algebra. p. 322. ISBN 9788178089973〕。 定理２： 有限群 ''G'' と素数 ''p'' が与えられると、''G'' のすべてのシロー ''p''-部分群は互いに共役である、つまり、''H'' と ''K'' が ''G'' のシロー ''p''-部分群であれば、''g''−1''Hg'' = ''K'' なる ''G'' の元 ''g'' が存在する。 定理３： ''p'' を有限群 ''G'' の位数の素因数で重複度を ''n'' とする。よって ''G'' の位数は と書ける、ただし であり ''p'' は ''m'' を割らない。''np'' を ''G'' のシロー ''p''-部分群の個数とする。すると次が成り立つ： * ''np'' は ''G'' のシロー ''p'' 部分群の指数である ''m'' を割り切る。 * ''np'' ≡ 1 mod ''p''. * ''np'' = |''G'' : ''NG''(''P'')|, ここで ''P'' は ''G'' の任意のシロー ''p''-部分群であり ''NG'' は正規化群を表す。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「シローの定理」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Sylow theorems 」があります。 スポンサード リンク
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