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数学におけるストーン・ワイエルシュトラスの定理とは、局所コンパクト空間上の連続関数の代数系における部分代数の稠密性に関する定理である。カール・ワイエルシュトラスによって1885年に示されたワイエルシュトラスの近似定理がその原型であり、1937年にマーシャル・ストーンによって大幅に一般化された現在の形の結果が得られた。 ワイエルシュトラスの近似定理は、閉区間上のどんな連続関数も多項式関数によって任意の精度で一様に近似できることを述べている。 ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、局所コンパクトハウスドルフ空間 ''X'' 上定められた複素数値の連続関数の代数系 ''C''(''X'') の部分代数 ''A'' が一様収束の位相に関して稠密になるための十分条件として、 # ''A''の元によって ''X'' の任意の異なる点が分離されること # 関数の複素共役をとる操作について ''A'' が閉じていること の二つが両立していること、を挙げている。''X''が実閉区間であるとき多項式関数のなす代数系は上記の条件を共に満たすため、ワイエルシュトラスの近似定理はストーン・ワイエルシュトラスの定理の特別な場合になっている。 == ワイエルシュトラスの近似定理 == ワイエルシュトラスが証明したのは以下のような形の近似定理である。 : ''f'' を閉区間 ''b'' 上の連続関数とせよ。任意の ''ε'' > 0 について ''C'' 上の多項式 ''p'' であって、 の任意の点 ''x'' に対し を満たすようなものが存在する。 ワイエルシュトラスは に代表されるような良い減少性をもつ関数の高階微分によって表される積分作用素によって、与えられた関数 ''f'' を近似するような多項式たちの係数を与えた。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ストーン＝ワイエルシュトラスの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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