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数学および物理学におけるスピノル（; スピノール〔文部科学省編『学術用語集 物理学編』オンライン版 、2010年6月9日閲覧。〕、スピナー）は、特にの理論に於いて空間ベクトルの概念を拡張する目的で導入された複素ベクトル空間の元である。これらが必要とされるのは、与えられた次元における回転群の全体構造を見るためには余分の次元を必要とするからである。 もっと形式的に、スピノルは与えられた二次形式付きベクトル空間から、代数的な〔これらの議論を導く簡単な代数的な道筋として用いられるのは、クリフォード代数であり、そこから当然、基本的なスピン表現が導出される。〕あるいは量子化の〔今では主流でない手法であるが、天下りに、クリフォード代数を、元のベクトル空間の座標を「量子化」することによって、行列の代数として構築する手法もある。このフレームワーク上で、スピノルは単純に、行列が作用できる列ベクトルで表される。そこで、線形代数の技法で直接、スピノル空間を非可約な部分に分割する仕方を導出できる。〕手続きを用いることで構成される幾何学的な対象として定義することもできる。与えられた二次形式は、スピノルのいくつかことなる型を記述するかも知れない。与えられた型のスピノル全体の成す集合は、それ自身回転群の作用を持つ線型空間であるが、作用の符号について曖昧さがある。それゆえに、スピノル全体の空間は回転群のを導く。符号の曖昧さは、スピノル全体の空間を、スピン群 Spin(''n'') のある線型表現と見なすことによって除くこともできる。この形式的な観点では、スピノルについての多くの本質的で代数的な性質が（空間幾何での話に比べて）よりはっきり見て取れるが、もとの空間幾何との繋がりはわかりにくい。他にも、複素係数の使用が最小限に押さえられる。 一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタン〔Cartan, E. "Les groupes prejectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicite plane" , ''Bul. Soc. Math. France'', 41 (1913), 53-96〕によって発見された。後に、スピノルは、電子や他のフェルミ粒子の内在する角運動量、即ちスピン角運動量の性質を研究するために、量子力学に適用された。今日、スピノルは物理学の様々な分野で用いられている。古典的に、が非相対論的な電子のスピンを記述するのに用いられた。ディラック方程式では、相対論的な電子の量子状態を数学的に記述する際に、ディラック・スピノルが必須となる。場の量子論では、相対論的な多粒子系の状態は、スピノルで記述される。 数学、殊に微分幾何学およびにおいて、スピノルが発見されて以来、代数的位相幾何学・微分位相幾何学〔, 〕、斜交幾何学、ゲージ理論、複素代数幾何〔, . 〕、指数定理〔, . 〕、および特殊ホロノミー〔, , These two books also provide good mathematical introductions and fairly comprehensive bibliographies on the mathematical applications of spinors as of 1989–1990.〕 などに対して幅広い応用がなされている。 ==概略== 古典的な空間幾何学において、回転や超平面に関する鏡映の作用を受けることにより、ベクトルは決まった振る舞いを示す。しかし、回転と鏡映はある意味でベクトルに対するそれらの作用という言葉で表されるよりも詳細な幾何学的な情報を含む。スピノルは、この幾何学をより十分に取り込むために構成された対象である。(を参照) スピノルの概念を捉えるのに、本質的に2つのやり方がある。 一つは群の表現によるものである。この視点では、先験的にのリー代数の表現に普通のテンソル構成で得られない存在することが分っているものとする。これらの失われた表現は「スピン表現」、その構成要素はスピノルと呼ばれる。この視点において、スピノルは必ず回転群 SO(''n'', R) の、あるいはより一般に符号数が (''p'', ''q'') である空間における SO(''p'', ''q'', R) の、二重被覆群の表現（の表現空間）に属さねばならない。これらの二重被覆は、スピン群 Spin(''p'', ''q'') と呼ばれるリー群である。スピノル全ての性質、応用及び派生するものは、まずスピン群において明らかにされる。 もう一つは、幾何学的な見方である。スピノルは明示的に構成され、そのときの関連するリー群の作用の下でどのように振舞うか知ることができる。この後者のアプローチには、スピノルが何であるかということの具体的で初等的な記述を与えることができるという利点がある。しかしながら、このような記述は（フィエルツ恒等式のような）スピノルの込み入った性質が必要とされるときには手に余る。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「スピノール」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Spinor 」があります。 スポンサード リンク
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